Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Надежда верная — быстрее мысли,
Она летит на ласточкиных крыльях!”
— …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Истинный друг — как бы второе “я”.
— Марк Туллий Цицерон, “О дружбе” …
В прошлых главах мы уже говорили про factorization:
Z[x] и про polynomials over fields:
F[x] Там были familiar идеи:
factor irreducible polynomial prime-like behavior unique factorization Теперь мы идём на уровень абстрактнее.
Вместо integers или polynomial rings будем говорить про arbitrary integral domain:
D То есть про commutative ring with unity and no zero divisors.
Главный вопрос:
как в таком domain работают делимость, простые элементы и неприводимые элементы?
Associates Начнём с понятия …
В прошлой части мы говорили про polynomial rings:
R[x] То есть про polynomials with coefficients in a ring R.
Теперь вопрос другой:
можно ли polynomial разложить на более простые множители?
Например:
x^2 - 1 можно записать как:
(x - 1)(x + 1) А вот polynomial:
x^2 + 1 over real numbers так разложить уже нельзя.
Но over complex numbers можно:
x^2 + 1 = (x - i)(x + i) То есть reducibility polynomial зависит не только от самого polynomial, но и от того, над каким ring или field мы работаем. …
Polynomials / многочлены вам знакомы ещё со школы (наверное). Например:
3x^2 - 5x + 7 или:
x^4 + 2x - 1 Обычно мы видим polynomials с integer, rational, real или complex coefficients:
Z[x] Q[x] R[x] C[x] Но теперь мы можем обобщить эту идею. Если R — commutative ring, то можно рассматривать polynomials, у которых coefficients берутся из R. Так появляется polynomial ring:
R[x] Что означает R[x] Пусть R — commutative ring. Тогда:
R[x] означает ring of polynomials over R.
Его элементы имеют вид: …
В group theory мы уже видели homomorphisms / гомоморфизмы. Group homomorphism — это mapping между groups, который сохраняет group operation.
Если groups записаны multiplicatively, условие выглядит так:
φ(ab) = φ(a)φ(b) Если groups записаны additively:
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) В ring theory идея похожая, но теперь у нас не одна operation, а две:
addition multiplication Поэтому ring homomorphism должен сохранять обе.
Ring homomorphism Пусть R и S — rings.
Mapping:
φ : R -> S называется ring …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Когда мужчина проводит час с красивой девушкой, ему кажется, что прошла …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Кто сражается с чудовищами, тому следует остерегаться, чтобы самому при …
В group theory у нас уже была важная конструкция:
normal subgroup Normal subgroups нужны не просто как “особые subgroups”. Они позволяют строить:
factor groups / quotient groups То есть мы можем взять группу G, normal subgroup N, склеить элементы по cosets и получить новую группу:
G / N В ring theory происходит похожая история.
Subrings похожи на subgroups, но для построения quotient structures их недостаточно. Нужна более сильная структура:
ideal / идеал Главная идея:
ideal — это subring, …
В прошлой части мы увидели, что ring / кольцо — это структура с двумя операциями:
addition multiplication По addition ring всегда является Abelian group. Но по multiplication всё, как говорится, “хужее”:
не каждый элемент имеет inverse; cancellation может не работать; два ненулевых элемента могут дать 0. Вот последняя штука особенно важна. В обычных integers такого не бывает:
ab = 0 значит:
a = 0 или:
b = 0 Но в некоторых rings это ломается.
Например, в Z6:
2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6) При этом:
2 != 0 …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Кто садится ужинать с дьяволом, тому нужна длинная ложка”.
— Старинная …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Женщины созданы для того, чтобы их любить, а не понимать.”
— Оскар …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Не действует по принужденью милость;
Как теплый дождь, она спадает с …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Духу необходимо давать передышку: после отдыха он воспрянет с новыми …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Никогда не говори: “Я потерял это”. Говори: “Я возвратил это”.
— …
