Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Положи меня, как печать, на сердце твоё… ибо крепка, как смерть, …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Злись, ветер, дуй, пока не лопнут щеки!
Вы, хляби вод, стремитесь …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Попробуй снова. Провались снова. Провались лучше”.
— Сэмюэл Беккет, …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Ничего не происходит, никто не приходит, никто не уходит — ужасно.”
— …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Единственный способ отделаться от искушения — поддаться ему”.
— Оскар …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Материнское сердце — бесконечное всепрощение”.
— Оноре де Бальзак, …
Теперь переходим к одной из самых важных тем для algebra, coding theory и cryptography: finite fields (конечные поля). Finite field — это field with finitely many elements.
Мы уже видели examples:
Z_p where p is prime.
Например:
Z_2 Z_3 Z_5 are finite fields.
Но finite fields не ограничиваются только prime order. Есть fields with:
4 elements 8 elements 9 elements 16 elements 25 elements и так далее.
Главный вопрос:
какие размеры вообще могут быть у finite fields?
Ответ жёсткий: только prime …
Мы уже несколько раз встречали fields, построенные через quotient rings:
Z_3[x] / <x^2 + 1> и:
R[x] / <x^2 + 1> Первое даёт field with 9 elements.
Второе is isomorphic to complex numbers:
C Теперь мы начинаем разбирать это системно.
Главная идея главы:
если polynomial не имеет root в исходном field, можно построить larger field, где root уже появится.
Например, polynomial:
x^2 + 1 не имеет root в:
R Но если добавить элемент i, для которого:
i^2 + 1 = 0 мы получаем complex numbers:
C = R(i) То …
Мы уже прошли две большие части abstract algebra: groups и rings. Теперь переходим к fields. Но чтобы нормально говорить про fields глубже, особенно про:
extension fields finite fields F_(p^n) нужен язык vector spaces.
На первый взгляд vector spaces — это тема из linear algebra. Но здесь они нужны не ради геометрии со стрелочками, а как инструмент для понимания fields.
Главная идея будет такая:
большое field можно рассматривать как vector space над меньшим field.
Например, complex numbers:
C …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Надежда верная — быстрее мысли,
Она летит на ласточкиных крыльях!”
— …
Это некоммерческий фанфик по мотивам вселенных The Witcher и Disco Elysium. Все права на оригинальные произведения, персонажей, названия и элементы миров принадлежат их соответствующим правообладателям. Автор фанфика не претендует на владение ими. Возрастной рейтинг: rated R (18+). Текст содержит ненормативную лексику, алкоголь, вымышленные наркотики, насилие, и прочие темы, предназначенные для совершеннолетней аудитории.
“Истинный друг — как бы второе “я”.
— Марк Туллий Цицерон, “О дружбе” …
В прошлых главах мы уже говорили про factorization:
Z[x] и про polynomials over fields:
F[x] Там были familiar идеи:
factor irreducible polynomial prime-like behavior unique factorization Теперь мы идём на уровень абстрактнее.
Вместо integers или polynomial rings будем говорить про arbitrary integral domain:
D То есть про commutative ring with unity and no zero divisors.
Главный вопрос:
как в таком domain работают делимость, простые элементы и неприводимые элементы?
Associates Начнём с понятия …
В прошлой части мы говорили про polynomial rings:
R[x] То есть про polynomials with coefficients in a ring R.
Теперь вопрос другой:
можно ли polynomial разложить на более простые множители?
Например:
x^2 - 1 можно записать как:
(x - 1)(x + 1) А вот polynomial:
x^2 + 1 over real numbers так разложить уже нельзя.
Но over complex numbers можно:
x^2 + 1 = (x - i)(x + i) То есть reducibility polynomial зависит не только от самого polynomial, но и от того, над каким ring или field мы работаем. …
Polynomials / многочлены вам знакомы ещё со школы (наверное). Например:
3x^2 - 5x + 7 или:
x^4 + 2x - 1 Обычно мы видим polynomials с integer, rational, real или complex coefficients:
Z[x] Q[x] R[x] C[x] Но теперь мы можем обобщить эту идею. Если R — commutative ring, то можно рассматривать polynomials, у которых coefficients берутся из R. Так появляется polynomial ring:
R[x] Что означает R[x] Пусть R — commutative ring. Тогда:
R[x] означает ring of polynomials over R.
Его элементы имеют вид: …
В group theory мы уже видели homomorphisms / гомоморфизмы. Group homomorphism — это mapping между groups, который сохраняет group operation.
Если groups записаны multiplicatively, условие выглядит так:
φ(ab) = φ(a)φ(b) Если groups записаны additively:
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) В ring theory идея похожая, но теперь у нас не одна operation, а две:
addition multiplication Поэтому ring homomorphism должен сохранять обе.
Ring homomorphism Пусть R и S — rings.
Mapping:
φ : R -> S называется ring …
