В прошлых главах мы уже говорили про factorization:
Z[x]
и про polynomials over fields:
F[x]
Там были familiar идеи:
factor
irreducible polynomial
prime-like behavior
unique factorization
Теперь мы идём на уровень абстрактнее.
Вместо integers или polynomial rings будем говорить про arbitrary integral domain:
D
То есть про commutative ring with unity and no zero divisors.
Главный вопрос:
как в таком domain работают делимость, простые элементы и неприводимые элементы?
Associates
Начнём с понятия associates / ассоциированные элементы.
Пусть D — integral domain.
Elements:
a, b ∈ D
называются associates, если они отличаются умножением на unit.
То есть:
a = ub
где:
u
is a unit of D.
Пример в Z
В integers units только:
1
-1
Поэтому integers a и b являются associates, если:
a = b
или:
a = -b
Например:
5
и:
-5
are associates.
А:
5
и:
10
не associates.
Пример в Z[x]
В polynomial ring:
Z[x]
units тоже только:
1
-1
Поэтому polynomials:
x + 1
и:
-(x + 1) = -x - 1
are associates.
Они считаются одинаковыми factor up to multiplication by a unit.
Irreducible element
Пусть D — integral domain.
Nonzero element:
a ∈ D
называется irreducible / неприводимым, если:
aне является unit;- если:
a = bc
то один из множителей обязан быть unit.
То есть irreducible element нельзя разложить на product двух nonunit elements.
Интуиция
Irreducible element — это элемент, который можно factor only trivially.
Например, в Z число:
7
irreducible, потому что если:
7 = ab
то один из множителей должен быть:
1
или:
-1
А число:
6
не irreducible, потому что:
6 = 2 · 3
и neither 2 nor 3 is a unit.
Prime element
Теперь другое понятие.
Nonzero element:
a ∈ D
называется prime / простым элементом, если:
aне является unit;- если
adivides product:
a | bc
то:
a | b
или:
a | c
То есть prime element контролирует divisibility of products.
Интуиция
Prime element говорит:
если я делю произведение, то я обязан делить хотя бы один из множителей.
Например, в integers:
5 | ab
implies:
5 | a
or:
5 | b
Это familiar property prime numbers.
Irreducible vs prime
В integers эти понятия совпадают.
То есть в Z:
irreducible = prime
Но в arbitrary integral domain это не всегда так.
Разница такая:
irreducible
говорит про невозможность разложить сам элемент:
a = bc
а:
prime
говорит про поведение элемента внутри products:
a | bc => a | b or a | c
Prime condition сильнее.
В любом integral domain:
prime => irreducible
Но обратное не всегда верно.
Norms in Z[√d]
Чтобы увидеть разницу между irreducible and prime, удобно рассмотреть rings вида:
Z[√d] = {a + b√d | a, b ∈ Z}
Здесь d — integer, обычно not equal to 1 и square-free.
Элементы выглядят так:
a + b√d
Например, в:
Z[√-3]
элементы имеют вид:
a + b√-3
где:
a, b ∈ Z
Для таких rings часто используют norm / норму:
N(a + b√d) = |a^2 - db^2|
Norm полезна потому, что она переводит элементы ring в nonnegative integers.
У неё есть важные свойства:
N(x) = 0 iff x = 0
N(xy) = N(x)N(y)
x is a unit iff N(x) = 1
и если:
N(x)
is prime integer, то x irreducible.
Пример: irreducible, но не prime в Z[√-3]
Рассмотрим ring:
Z[√-3]
Здесь norm выглядит так:
N(a + b√-3) = a^2 + 3b^2
Рассмотрим element:
1 + √-3
Его norm:
N(1 + √-3) = 1^2 + 3 · 1^2 = 4
Покажем, что этот element irreducible, но not prime.
Почему 1 + √-3 irreducible
Допустим, он раскладывается:
1 + √-3 = xy
где neither x nor y is a unit.
Тогда по multiplicativity of norm:
N(1 + √-3) = N(x)N(y)
То есть:
4 = N(x)N(y)
Так как x и y не units, их norms не равны 1.
Значит единственный возможный вариант:
N(x) = 2
и:
N(y) = 2
Но equation:
a^2 + 3b^2 = 2
не имеет integer solutions.
Проверим:
- если
b = 0, то нужноa^2 = 2, impossible in integers; - если
b != 0, то3b^2 >= 3, уже больше2.
Значит element norm 2 в этом ring не существует.
Поэтому nontrivial factorization невозможна.
Следовательно:
1 + √-3
is irreducible.
Почему 1 + √-3 не prime
Теперь посмотрим на product:
(1 + √-3)(1 - √-3)
Раскрываем:
(1 + √-3)(1 - √-3)
=
1 - (√-3)^2
Так как:
(√-3)^2 = -3
получаем:
1 - (-3) = 4
То есть:
(1 + √-3)(1 - √-3) = 4 = 2 · 2
Значит:
1 + √-3
divides:
2 · 2
Но он не divides 2.
Чтобы это проверить, предположим:
2 = (1 + √-3)(a + b√-3)
Раскрываем:
(1 + √-3)(a + b√-3)
=
(a - 3b) + (a + b)√-3
Чтобы это было равно 2, нужно:
a - 3b = 2
и:
a + b = 0
Из второго:
a = -b
Подставляем в первое:
-b - 3b = 2
то есть:
-4b = 2
Отсюда:
b = -1/2
not integer.
Значит integer solutions нет, и:
1 + √-3
не divides 2.
Получилось:
(1 + √-3) | 2 · 2
но:
(1 + √-3) ∤ 2
Следовательно:
1 + √-3
is not prime.
Главная мысль:
в arbitrary integral domain element может быть irreducible, но not prime.
Пример: 7 irreducible in Z[√5]
Теперь рассмотрим ring:
Z[√5]
Здесь norm:
N(a + b√5) = |a^2 - 5b^2|
Покажем, что element:
7
is irreducible in Z[√5].
Проверка через norm
Допустим:
7 = xy
где neither x nor y is a unit.
Тогда:
N(7) = N(x)N(y)
Но:
N(7) = |7^2 - 5 · 0^2| = 49
Так как x and y не units, их norms не равны 1.
Значит возможный nontrivial case:
N(x) = 7
и:
N(y) = 7
То есть нужно, чтобы существовали integers a, b such that:
|a^2 - 5b^2| = 7
Иначе говоря:
a^2 - 5b^2 = 7
или:
a^2 - 5b^2 = -7
Modulo 5 это даёт:
a^2 ≡ 7 (mod 5)
или:
a^2 ≡ -7 (mod 5)
То есть:
a^2 ≡ 2 (mod 5)
или:
a^2 ≡ 3 (mod 5)
Но squares modulo 5 могут быть только:
0, 1, 4
Значит impossible.
Следовательно, element norm 7 в Z[√5] не существует.
Поэтому nontrivial factorization:
7 = xy
невозможна.
Значит:
7
is irreducible in Z[√5].
Важно: здесь N(7) = 49, не prime. То есть converse свойства “prime norm implies irreducible” не работает.
Element может быть irreducible even if its norm is not prime.
Prime implies irreducible
Теперь общее утверждение:
In an integral domain, every prime element is irreducible.
То есть:
prime => irreducible
в любом integral domain.
Почему это правда
Пусть p — prime element in integral domain D. Нужно показать, что p irreducible.
Допустим:
p = bc
Так как:
p | bc
и p prime, получаем:
p | b
или:
p | c
Предположим:
p | b
Тогда:
b = pd
для некоторого d ∈ D.
Подставляем в factorization:
p = bc = (pd)c = p(dc)
Так как D — integral domain и p != 0, можно cancel p:
1 = dc
Значит:
c
is a unit.
То есть в любом factorization:
p = bc
один из factors является unit.
Следовательно:
p
is irreducible.
В PID irreducible equals prime
В arbitrary integral domain работает только:
prime => irreducible
Но обратное может ломаться.
Однако в principal ideal domain / PID всё хорошо:
In a PID, an element is irreducible if and only if it is prime.
То есть в PID:
irreducible = prime
Почему PID помогает
Напомним:
PID / principal ideal domain — это integral domain, в котором every ideal is principal:
I = <a>
В PID ideals устроены достаточно хорошо, чтобы irreducible elements автоматически имели prime behavior.
Именно поэтому в familiar domains вроде:
Z
или:
F[x]
irreducible elements behave like primes.
Example: Z[x] is not a PID
Мы знаем, что:
Z
is a PID.
Но:
Z[x]
не является PID.
Рассмотрим ideal:
I = <2, x>
в:
Z[x]
Это ideal generated by 2 and x.
То есть:
I = {2f(x) + xg(x) | f(x), g(x) ∈ Z[x]}
Интуитивно это set polynomials with even constant term.
Например:
x + 2
лежит в I.
И:
3x^2 + 5x + 4
тоже лежит в I.
Но:
1
не лежит в I, потому что constant term 1 is odd.
Почему I не principal
Предположим, что:
I = <h(x)>
для некоторого:
h(x) ∈ Z[x]
Так как:
2 ∈ I
получаем, что h(x) divides 2.
Значит h(x) должен быть constant polynomial:
±1
или:
±2
Если:
h(x) = ±1
то:
<h(x)> = Z[x]
Но это невозможно, потому что:
1 ∉ I
Значит остаётся:
h(x) = ±2
Но тогда every element of <h(x)> должен быть divisible by 2.
А:
x ∈ I
но:
x
не divisible by 2 in Z[x].
То есть не существует polynomial g(x) ∈ Z[x], such that:
x = 2g(x)
Противоречие.
Следовательно:
<2, x>
not principal.
Значит:
Z[x]
is not a PID.
Почему это важно
Мы уже знаем:
Z[x]
has unique factorization.
Но при этом:
Z[x]
not PID.
Это показывает, что PID — strong condition.
Позже появится более широкая class:
UFD / unique factorization domain
В UFD unique factorization есть, но не обязательно every ideal is principal.
Именно поэтому:
Z[x]
может иметь unique factorization, но не быть PID.
Unique Factorization Domains
Теперь у нас есть нужные термины, чтобы formalize идею unique factorization.
Мы уже знаем familiar examples:
Z
имеет unique factorization into prime numbers.
Также ранее мы видели, что:
Z[x]
имеет unique factorization into irreducible polynomials.
Но возникает естественный вопрос:
все ли integral domains имеют unique factorization?
Ответ: нет.
Поэтому вводится отдельный класс integral domains:
UFD / unique factorization domain
Определение
Unique Factorization Domain / UFD — это integral domain D, в котором выполняются два условия.
Первое:
every nonzero nonunit element can be written as a product of irreducibles.
То есть если:
a ∈ D
и a не равен 0 и не является unit, то:
a = p1p2...pn
где каждый pi irreducible.
Второе:
this factorization is unique up to associates and order.
То есть если есть два factorization:
a = p1p2...pn
и:
a = q1q2...qm
где все pi и qj irreducible, то:
n = m
и после перестановки factors каждый pi является associate соответствующего qi.
Что значит “unique up to associates and order”
Фраза:
unique up to associates and order
означает, что мы не считаем существенными две вещи:
- порядок factors;
- multiplication by units.
Например, в Z:
60 = 2 · 2 · 3 · 5
Можно написать:
60 = 5 · 3 · 2 · 2
Это то же самое factorization, просто factors переставлены.
Можно ещё написать:
60 = (-2) · 2 · 3 · (-5)
Это тоже essentially the same factorization, потому что 2 и -2 are associates, а 5 и -5 тоже associates.
В Z units:
1
-1
поэтому signs можно перекидывать между factors.
Пример: Z is a UFD
Integers:
Z
являются UFD.
Это ровно Fundamental Theorem of Arithmetic:
every integer greater than
1can be uniquely factored into primes.
Например:
84 = 2 · 2 · 3 · 7
Другого genuinely different prime factorization у 84 нет.
Можно поменять порядок, можно добавить signs, но primes останутся теми же.
Пример: Z[x] is a UFD
Мы также уже видели, что:
Z[x]
является UFD.
То есть every nonzero nonunit polynomial with integer coefficients can be factored into irreducible polynomials uniquely up to order and multiplication by ±1.
Например:
6x^2 - 6
можно разложить так:
6x^2 - 6 = 2 · 3 · (x - 1)(x + 1)
Factors можно переставлять:
3 · (x + 1) · 2 · (x - 1)
или менять signs:
(-2) · 3 · (1 - x)(x + 1)
Но это не new factorization. Это тот же набор irreducible factors up to associates.
Ascending Chain Condition для PID
Перед важной theorem появляется техническая lemma.
Она говорит:
in a PID, any strictly increasing chain of ideals must be finite.
То есть в principal ideal domain нельзя иметь бесконечную цепочку:
I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ ...
где каждое следующее ideal строго больше предыдущего.
Такая property называется:
ascending chain condition
или коротко:
ACC
Интуиция
В PID every ideal имеет вид:
<a>
То есть every ideal generated by one element.
Strictly increasing chain ideals:
<a1> ⊂ <a2> ⊂ <a3> ⊂ ...
соответствует тому, что generators становятся “всё менее делимыми”.
В integers это похоже на цепочку:
12Z ⊂ 6Z ⊂ 3Z ⊂ Z
Она может расти, но не бесконечно.
Нельзя бесконечно строго укрупнять principal ideals внутри PID.
Эта condition нужна, чтобы гарантировать: процесс factorization рано или поздно остановится.
PID implies UFD
Главная theorem:
every principal ideal domain is a unique factorization domain.
То есть:
PID => UFD
Это очень важная связь.
PID — это сильное условие про ideals:
every ideal is principal
UFD — это условие про factorization:
every element factors uniquely into irreducibles
Theorem говорит, что хорошее поведение ideals заставляет factorization тоже вести себя хорошо.
Почему это логично
Чтобы domain был UFD, нужны две вещи.
Первая:
existence of factorization
То есть every nonzero nonunit element должен eventually разложиться на irreducibles.
В PID это обеспечивается ascending chain condition: нельзя бесконечно продолжать раскладывать element на всё более мелкие nonunit factors.
Вторая:
uniqueness of factorization
Она следует из того, что в PID:
irreducible = prime
А prime elements хорошо контролируют divisibility:
p | ab => p | a or p | b
Именно это позволяет доказывать uniqueness так же, как в integers.
Corollary: F[x] is a UFD
Мы уже знаем:
если
F— field, тоF[x]is a PID.
А теперь знаем:
PID => UFD
Следовательно:
F[x] is a UFD
То есть polynomial ring over a field имеет unique factorization.
Например:
Q[x]
R[x]
C[x]
Z_p[x]
are UFDs.
Это объясняет, почему factorization polynomials over fields работает настолько хорошо.
Ещё раз схема
Для field F:
F is a field
значит:
F[x] is a PID
а значит:
F[x] is a UFD
То есть:
field
=> polynomial ring has division algorithm
=> F[x] is PID
=> F[x] is UFD
Application: Eisenstein’s criterion через UFD
Eisenstein’s criterion можно доказывать elegant way через UFD.
Напомним criterion.
Пусть:
f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_0 ∈ Z[x]
И пусть существует prime p, такой что:
p ∤ a_n
но:
p | a_(n-1), ..., p | a_1, p | a_0
и при этом:
p^2 ∤ a_0
Тогда:
f(x)
irreducible over Q.
Идея доказательства
Допустим наоборот, что:
f(x)
reducible over Q.
Тогда по связи reducibility over Q and Z можно записать:
f(x) = g(x)h(x)
где:
g(x), h(x) ∈ Z[x]
и оба имеют positive degree.
Теперь reduce everything modulo p.
Так как все coefficients f(x), кроме leading coefficient, делятся на p, в Z_p[x] polynomial превращается в:
a_nx^n
То есть:
f_bar(x) = a_nx^n
А это равно:
g_bar(x)h_bar(x)
в Z_p[x].
Так как Z_p[x] is a UFD, из factorization of a_nx^n следует, что both g_bar(x) and h_bar(x) должны делиться на x.
Значит:
g_bar(0) = 0
и:
h_bar(0) = 0
То есть constant terms g(0) и h(0) оба делятся на p.
Но тогда их product:
g(0)h(0)
делится на:
p^2
А constant term of f(x) равен:
a_0 = g(0)h(0)
Получаем:
p^2 | a_0
Но это contradicts Eisenstein condition:
p^2 ∤ a_0
Значит исходное предположение о reducibility было false.
Поэтому:
f(x)
irreducible over Q.
Euclidean Domains
Теперь ещё один important class integral domains:
Euclidean domain / ED
Это domains, где есть analogue of division algorithm.
Определение
Integral domain D называется Euclidean domain / евклидовым доменом, если существует function:
d
from nonzero elements of D to nonnegative integers:
d : D \ {0} -> Z_nonnegative
такая что:
- для любых nonzero
a, b ∈ D:
d(a) <= d(ab)
- для любых
a, b ∈ D, гдеb != 0, существуютq, r ∈ D, такие что:
a = bq + r
и:
r = 0
или:
d(r) < d(b)
Функция d называется:
measure
Она измеряет “размер” элемента, чтобы division algorithm мог уменьшать remainder.
Example: Z is Euclidean domain
Integers:
Z
are Euclidean domain with measure:
d(a) = |a|
Division algorithm здесь знакомый:
если:
a, b ∈ Z
и:
b != 0
то существуют integers:
q, r ∈ Z
такие что:
a = bq + r
и:
0 <= r < |b|
Именно это обычное division with remainder.
Example: F[x] is Euclidean domain
Если F — field, то:
F[x]
is Euclidean domain.
Measure:
d(f(x)) = deg f(x)
Polynomial division algorithm говорит:
если:
f(x), g(x) ∈ F[x]
и:
g(x) != 0
то существуют:
q(x), r(x) ∈ F[x]
такие что:
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
и:
r(x) = 0
или:
deg r < deg g
То есть degree играет роль absolute value.
Analogy between Z and F[x]
Между integers and polynomials over a field есть сильная parallel.
Для Z:
measure = absolute value
Для F[x]:
measure = degree
В обоих случаях есть division algorithm.
В обоих случаях domain is Euclidean.
Значит оба являются PID.
Значит оба являются UFD.
Схема:
Euclidean domain
=> PID
=> UFD
Поэтому:
Z
and:
F[x]
имеют very similar divisibility theory.
Gaussian integers Z[i]
Ещё один важный example Euclidean domain:
Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}
Это ring Gaussian integers.
Для него measure:
d(a + bi) = a^2 + b^2
Это norm squared complex number.
Например:
d(3 + 2i) = 3^2 + 2^2 = 13
И оказывается:
Z[i]
is Euclidean domain.
Почему это не совсем очевидно
Для Z division algorithm опирается на rounding real numbers.
Для Z[i] нужно делить complex numbers and round both coordinates.
Идея такая.
Если:
x, y ∈ Z[i]
и:
y != 0
то в field of quotients можно посмотреть на:
xy^-1
Это complex number:
s + ti
где:
s, t ∈ Q
Теперь выбираем integers m, n, nearest to s and t.
То есть:
|s - m| <= 1/2
и:
|t - n| <= 1/2
Then take:
q = m + ni
as quotient.
Remainder:
r = x - qy
оказывается smaller than y by norm:
d(r) < d(y)
Поэтому division algorithm works in Z[i].
Почему Gaussian integers важны
Z[i] shows, что Euclidean domains are not only:
Z
and:
F[x]
There are richer rings where division with remainder still works.
А раз:
Z[i]
is Euclidean domain, то:
Z[i] is PID
и:
Z[i] is UFD
То есть Gaussian integers тоже имеют unique factorization.
ED implies PID
Теперь добавим ещё одну важную стрелку:
Euclidean domain => PID
То есть:
every Euclidean domain is a principal ideal domain.
Напомним, Euclidean domain — это integral domain, где есть division algorithm с некоторой measure function:
d
Например:
- в
Zmeasure — это absolute value; - в
F[x]measure — это degree; - в
Z[i]measure — это norma^2 + b^2.
Почему ED implies PID
Пусть D — Euclidean domain.
Нужно показать, что every ideal в D является principal.
Возьмём nonzero ideal:
I
Внутри I выберем nonzero element с минимальной measure:
a ∈ I
То есть среди всех ненулевых элементов I элемент a имеет smallest possible value:
d(a)
Теперь возьмём любой element:
b ∈ I
Так как D — Euclidean domain, можно divide b by a:
b = aq + r
где:
r = 0
или:
d(r) < d(a)
Но:
r = b - aq
А b ∈ I, a ∈ I, and I is an ideal, значит:
aq ∈ I
и поэтому:
r = b - aq ∈ I
Если бы r != 0, то мы получили бы nonzero element r ∈ I with:
d(r) < d(a)
Но a был выбран с минимальной measure. Contradiction.
Значит:
r = 0
и поэтому:
b = aq
То есть любой element b ∈ I является multiple of a.
Следовательно:
I = <a>
Значит every ideal principal, и:
D is a PID
Ещё раз
Мы уже знаем:
PID => UFD
Теперь знаем:
ED => PID
Поэтому сразу получаем:
ED => PID => UFD
То есть every Euclidean domain is automatically a unique factorization domain.
Но обратные стрелки не работают
Важно не перепутать.
Верно:
ED => PID => UFD
Но generally false:
UFD => PID
и generally false:
PID => ED
То есть hierarchy такая:
Euclidean domain
самое сильное условие из этих трёх.
Потом:
PID
Потом:
UFD
Самая короткая схема:
ED => PID => UFD
но не наоборот.
Пример: Z[x] is UFD but not PID
Мы уже видели важный example:
Z[x]
является UFD.
Но:
Z[x]
не является PID.
Причина: ideal
<2, x>
не generated by one element.
Значит Z[x] показывает, что:
UFD does not imply PID
То есть unique factorization может быть, даже если не every ideal principal.
If D is UFD, then D[x] is UFD
Теперь ещё одна важная theorem:
if
Dis a UFD, thenD[x]is also a UFD.
То есть unique factorization survives when we pass to polynomial ring.
Например:
Z
is a UFD.
Therefore:
Z[x]
is a UFD.
А так как Z[x] is a UFD, можно снова применить theorem:
Z[x][y]
is a UFD.
Это essentially the same as:
Z[x, y]
То есть polynomial rings in several variables over a UFD are also UFDs.
Почему это важно
Эта theorem говорит, что polynomial rings behave well under factorization.
Если base domain already has unique factorization, then adding a formal variable x does not destroy it.
Это очень полезно, потому что многие algebraic objects строятся как polynomial rings:
D[x]
D[x, y]
F[x]
F[x_1, ..., x_n]
И theorem позволяет переносить unique factorization дальше.
Integral domain that is not a UFD
Но not every integral domain is UFD.
Классический example:
Z[√-5]
То есть:
Z[√-5] = {a + b√-5 | a, b ∈ Z}
Это integral domain, но not a unique factorization domain.
Norm in Z[√-5]
В этом ring удобно использовать norm:
N(a + b√-5) = a^2 + 5b^2
Она multiplicative:
N(xy) = N(x)N(y)
Units здесь только:
1
-1
потому что unit должен иметь norm 1, а equation:
a^2 + 5b^2 = 1
даёт только:
a = ±1
b = 0
Two different factorizations of 46
В Z[√-5] рассмотрим element:
46
У него есть два factorization:
46 = 2 · 23
и:
46 = (1 + 3√-5)(1 - 3√-5)
Проверим второе:
(1 + 3√-5)(1 - 3√-5)
=
1 - (3√-5)^2
Так как:
(3√-5)^2 = 9 · (-5) = -45
получаем:
1 - (-45) = 46
То есть действительно:
46 = (1 + 3√-5)(1 - 3√-5)
Почему это проблема для UFD
Если все четыре factors:
2
23
1 + 3√-5
1 - 3√-5
irreducible, и эти factorizations не отличаются просто order/sign, то unique factorization fails.
А units only:
±1
Значит associates отличаются только sign.
Очевидно:
2
не associate с:
1 + 3√-5
и:
23
тоже не associate с:
1 - 3√-5
Это genuinely different factorizations.
Почему factors irreducible
Используем norm.
Factor 2
N(2) = 4
Если бы:
2 = xy
nontrivially, то:
4 = N(x)N(y)
Так как x и y not units, их norms не равны 1.
Значит нужно было бы:
N(x) = N(y) = 2
Но equation:
a^2 + 5b^2 = 2
has no integer solutions.
Если b = 0, то a^2 = 2, impossible.
Если b != 0, то 5b^2 >= 5, already too large.
Значит 2 irreducible.
Factor 23
N(23) = 23^2 = 529
Если бы у 23 было nontrivial factorization, то один из множителей должен был бы иметь norm:
23
То есть должны были бы существовать integers a, b, такие что:
a^2 + 5b^2 = 23
Проверим possible values of b:
- если
b = 0, тоa^2 = 23, impossible; - если
b = ±1, тоa^2 + 5 = 23, значитa^2 = 18, impossible; - если
b = ±2, тоa^2 + 20 = 23, значитa^2 = 3, impossible; - если
|b| >= 3, то5b^2 >= 45, уже слишком много.
Решений нет.
Значит 23 irreducible.
Factors 1 ± 3√-5
N(1 + 3√-5) = 1^2 + 5 · 3^2 = 46
и аналогично:
N(1 - 3√-5) = 46
Если бы один из этих elements имел nontrivial factorization, то norms его множителей должны были бы перемножаться в:
46 = 2 · 23
Значит нам понадобился бы element with norm 2 или element with norm 23.
Но выше мы уже проверили, что в:
Z[√-5]
нет elements with norm 2 и нет elements with norm 23.
Следовательно:
1 + 3√-5
и:
1 - 3√-5
являются irreducible.
Conclusion: Z[√-5] is not a UFD
У нас есть два разных factorization into irreducibles:
46 = 2 · 23
и:
46 = (1 + 3√-5)(1 - 3√-5)
Эти factorizations не совпадают с точностью до порядка factors и associates.
В этом ring units только:
±1
поэтому associates могут отличаться только знаком. Но 2, 23, 1 + 3√-5 и 1 - 3√-5 не превращаются друг в друга простым умножением на ±1.
Значит unique factorization fails.
Следовательно:
Z[√-5]
является integral domain, но не является UFD.
Final hierarchy
Теперь можно запомнить общую картину:
Euclidean domain => PID => UFD => integral domain
Но reverse implications generally fail.
Examples:
Z
is ED, hence PID, hence UFD.
F[x]
is ED, hence PID, hence UFD.
Z[x]
is UFD, but not PID.
Z[√-5]
is integral domain, but not UFD.