Extension Fields: как добавить корень polynomial к field

July 7, 2026 #абстрактная алгебра #cs

Мы уже несколько раз встречали fields, построенные через quotient rings:

Z_3[x] / <x^2 + 1>

и:

R[x] / <x^2 + 1>

Первое даёт field with 9 elements.

Второе is isomorphic to complex numbers:

Теперь мы начинаем разбирать это системно.

Главная идея главы:

если polynomial не имеет root в исходном field, можно построить larger field, где root уже появится.

Например, polynomial:

x^2 + 1

не имеет root в:

Но если добавить элемент i, для которого:

i^2 + 1 = 0

мы получаем complex numbers:

C = R(i)

То есть C — это extension field of R.

Extension field

Пусть:

и:

are fields.

Field E называется extension field / полем расширения field F, если:

F ⊆ E

и operations в F совпадают с operations, inherited from E.

То есть F sits inside E как subfield.

Примеры:

R ⊆ C

поэтому C is an extension field of R.

Также:

Q ⊆ R ⊆ C

поэтому R and C are extension fields of Q.

Зачем нужны extension fields

Главная мотивация — roots of polynomials.

Polynomial:

x^2 + 1

не имеет root in R.

Но он имеет root in C:

because:

i^2 + 1 = 0

То есть мы расширили field R до field C, чтобы polynomial получил zero.

В abstract algebra хочется делать это не только для R and C, а для любого field и любого nonconstant polynomial.

Fundamental Theorem of Field Theory

Пусть F — field, и пусть:

f(x) ∈ F[x]

is a nonconstant polynomial.

Then there exists an extension field E of F in which f(x) has a zero.

То есть можно построить larger field:

F ⊆ E

и найти element:

α ∈ E

такой что:

f(α) = 0

Это theorem часто называют:

Kronecker's theorem

Как это работает

Идея уже знакомая:

Берём irreducible factor p(x) polynomial f(x).
Строим quotient field:

F[x] / <p(x)>

В этом quotient field element:

α = x + <p(x)>

behaves like a root of p(x).

Почему?

Потому что в quotient:

p(x) = 0

То есть:

p(α) = 0

А если p(x) divides f(x), то:

f(α) = 0

тоже.

Example: adding a root of `x^2 + 1` over `Q`

Рассмотрим:

f(x) = x^2 + 1 ∈ Q[x]

Over Q этот polynomial не имеет root.

Но мы можем построить field:

E = Q[x] / <x^2 + 1>

В этом field элементами являются cosets:

g(x) + <x^2 + 1>

Но every element можно привести к виду:

a + bx + <x^2 + 1>

где:

a, b ∈ Q

Потому что при division by x^2 + 1 remainder has degree less than 2.

Новый элемент `α`

Обозначим:

α = x + <x^2 + 1>

Тогда в quotient field:

α^2 + 1 = 0

Проверим:

α^2 + 1
=
(x + <x^2 + 1>)^2 + 1

=
x^2 + 1 + <x^2 + 1>

Но:

x^2 + 1 ∈ <x^2 + 1>

поэтому:

x^2 + 1 + <x^2 + 1> = 0 + <x^2 + 1>

Значит:

α^2 + 1 = 0

То есть α is a zero of:

x^2 + 1

inside the extension field E.

Почему это похоже на complex numbers

В complex numbers есть element:

такой что:

i^2 + 1 = 0

В quotient field:

Q[x] / <x^2 + 1>

есть element:

α = x + <x^2 + 1>

такой что:

α^2 + 1 = 0

То есть α behaves like i.

Но важный момент:

мы построили field with a root of x^2 + 1, используя только rational numbers.

Нам не нужно заранее знать complex numbers.

Мы сами создали field, где нужный root существует.

Example over `Z_3`

Рассмотрим polynomial:

f(x) = x^5 + 2x^2 + 2x + 2 ∈ Z_3[x]

Over Z_3 он раскладывается так:

f(x) = (x^2 + 1)(x^3 + 2x + 2)

Оба factors irreducible over Z_3.

Чтобы построить extension field, где f(x) has a zero, можно взять quotient по любому irreducible factor.

First option

Берём:

E = Z_3[x] / <x^2 + 1>

Так как:

x^2 + 1

irreducible over Z_3, quotient is a field.

В этом field element:

α = x + <x^2 + 1>

satisfies:

α^2 + 1 = 0

А так как x^2 + 1 divides f(x), получаем:

f(α) = 0

То есть α is a root of f(x) in E.

Поскольку x^2 + 1 has degree 2, every element of E has form:

a + bα

where:

a, b ∈ Z_3

Всего вариантов:

3^2 = 9

Значит E is a field with 9 elements.

Second option

Можно взять другой irreducible factor:

E = Z_3[x] / <x^3 + 2x + 2>

Тогда новый element:

β = x + <x^3 + 2x + 2>

satisfies:

β^3 + 2β + 2 = 0

И так как:

x^3 + 2x + 2

divides f(x), получаем:

f(β) = 0

Здесь degree factor равна 3, поэтому every element has form:

a + bβ + cβ^2

where:

a, b, c ∈ Z_3

Всего elements:

3^3 = 27

So this gives a field with 27 elements.

Почему integral domain достаточно

Theorem выше сформулирована для fields, но похожая идея работает и для integral domains.

Если coefficients polynomial лежат в integral domain D, то D можно вложить в его field of quotients.

Например:

лежит внутри:

Значит polynomial над D можно рассматривать уже над field, а там построить нужное extension field.

Поэтому любой nonconstant polynomial с coefficients in integral domain имеет root в каком-то field, содержащем этот domain.

Почему это не работает для произвольных rings

Для arbitrary commutative rings всё может сломаться.

Пример:

f(x) = 2x + 1 ∈ Z_4[x]

Claim: у этого polynomial нет root ни в каком ring, содержащем Z_4 как subring.

Почему?

Допустим, есть ring, содержащий Z_4, и в нём есть element:

β

такой что:

2β + 1 = 0

Умножим обе стороны на 2:

2(2β + 1) = 2 · 0

Получаем:

4β + 2 = 0

Но в любом ring, содержащем Z_4, выполняется:

4 = 0

поэтому:

4β = 0

и остаётся:

2 = 0

Но в Z_4:

2 != 0

Получили contradiction.

Значит такого root быть не может.

Главная проблема в том, что Z_4 не integral domain. В нём есть zero divisors, поэтому логика с embedding into a field здесь уже не работает.

Splitting fields

До сих пор мы строили extension field, где polynomial получает хотя бы один root.

Но часто хочется большего:

найти field, где polynomial полностью раскладывается into linear factors.

То есть не просто один root, а все roots.

Так появляется понятие:

splitting field

Example: `x^2 + 1` over `Q`

Вернёмся к:

Q[x] / <x^2 + 1>

Обозначим:

α = x + <x^2 + 1>

Тогда:

α^2 + 1 = 0

то есть:

α^2 = -1

Значит α ведёт себя как square root of -1.

У polynomial:

x^2 + 1

в этом extension field есть два roots:

α

и:

-α

Поэтому:

x^2 + 1 = (x - α)(x + α)

Проверим:

(x - α)(x + α) = x^2 - α^2

Но:

α^2 = -1

значит:

x^2 - α^2 = x^2 - (-1) = x^2 + 1

То есть в field:

Q[x] / <x^2 + 1>

polynomial:

x^2 + 1

полностью раскладывается into linear factors.

What does “splits” mean?

Пусть:

f(x) ∈ F[x]

и E — extension field of F.

Говорят, что f(x) splits in E, если в E[x] polynomial можно записать как product linear factors:

f(x) = a(x - a1)(x - a2)...(x - an)

где:

a ∈ F

и:

a1, a2, ..., an ∈ E

То есть все roots polynomial лежат в E.

Определение

Field E называется splitting field / полем разложения polynomial f(x) over F, если выполняются две вещи:

f(x) splits in E;
E — smallest field over F, в котором это происходит.

Если roots polynomial:

a1, a2, ..., an

то splitting field записывают как:

E = F(a1, a2, ..., an)

Это означает:

smallest subfield, containing F and all roots a1, a2, ..., an.

То есть мы добавляем к F ровно те elements, которые нужны, чтобы polynomial полностью разложился.

Что значит `F(a1, a2, ..., an)`

Запись:

F(a1, a2, ..., an)

означает smallest field, containing:

and:

a1, a2, ..., an

Например:

Q(i)

это smallest field, containing Q and i.

Его elements имеют вид:

a + bi

где:

a, b ∈ Q

То есть:

Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q}

А:

Q(√2)

это smallest field, containing Q and √2:

Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q}

Splitting field depends on the base field

Важно: splitting field depends not only on polynomial, but also on base field.

Нельзя просто сказать:

E is the splitting field of f(x)

Нужно сказать:

E is the splitting field of f(x) over F

Потому что один и тот же polynomial может требовать different extension fields over different base fields.

Пример: `x^2 + 1`

Рассмотрим:

f(x) = x^2 + 1

Над полем:

полем разложения будет:

Q(i)

потому что корни:

и:

-i

не лежат в Q, но лежат в Q(i).

Над полем:

полем разложения будет:

потому что i и -i лежат в C.

А над полем:

полем разложения будет просто:

потому что polynomial уже раскладывается там на linear factors:

x^2 + 1 = (x - i)(x + i)

Пример: `x^2 - 2`

Polynomial:

x^2 - 2

имеет корни:

√2

и:

-√2

Над полем:

полем разложения будет:

Q(√2)

потому что √2 не является rational number.

А над полем:

этот polynomial уже раскладывается:

x^2 - 2 = (x - √2)(x + √2)

поэтому поле разложения над R — это просто:

Вот почему base field важен: один и тот же polynomial может требовать расширения над Q, но уже полностью раскладываться над R или C.

Скобки и квадратные скобки: `Q(√2)` и `Z[√2]`

Здесь появляется важная деталь notation.

Мы уже писали:

Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}

Это ring.

А вот:

Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q}

это уже field.

Разница не только в скобках, но и в коэффициентах.

В:

Z[√2]

коэффициенты целые.

В:

Q(√2)

коэффициенты рациональные.

Например:

1 / √2 = √2 / 2

лежит в Q(√2), потому что:

√2 / 2 = 0 + (1/2)√2

А вот в Z[√2] этот элемент не лежит, потому что coefficient 1/2 не является целым числом.

Поэтому parentheses обычно указывают на field, полученное добавлением элемента:

Q(√2)

А brackets часто указывают на ring, полученное добавлением элемента:

Z[√2]

Существование splitting fields

Раньше у нас была fundamental theorem:

каждый nonconstant polynomial имеет root в каком-то extension field.

Теперь усилим эту идею:

каждый nonconstant polynomial над field имеет splitting field.

То есть для любого:

f(x) ∈ F[x]

существует extension field:

такой что f(x) полностью раскладывается в E на linear factors.

Почему это работает

Идея простая.

Если f(x) ещё не раскладывается над F, берём его irreducible factor и строим extension field, где у этого factor появляется root.

После этого у polynomial появляется хотя бы один linear factor.

Потом повторяем процесс.

Каждый раз degree оставшейся части уменьшается.

В итоге все factors становятся linear.

А smallest field, содержащее все roots, и называется splitting field.

Пример: splitting field of `x^4 - x^2 - 2` над `Q`

Рассмотрим:

f(x) = x^4 - x^2 - 2

Над Q этот polynomial раскладывается так:

x^4 - x^2 - 2 = (x^2 - 2)(x^2 + 1)

У polynomial:

x^2 - 2

корни:

±√2

У polynomial:

x^2 + 1

корни:

±i

Значит все roots исходного polynomial:

√2, -√2, i, -i

Чтобы polynomial полностью разложился, field должно содержать и:

√2

и:

Поэтому splitting field над Q:

Q(√2, i)

Как выглядят элементы `Q(√2, i)`

Можно думать так.

Сначала мы добавляем √2:

Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q}

Потом добавляем i:

Q(√2)(i)

Элементы теперь имеют вид:

α + βi

где:

α, β ∈ Q(√2)

Но каждый из этих коэффициентов сам имеет вид:

α = a + b√2

и:

β = c + d√2

Поэтому общий элемент можно записать так:

α + βi = (a + b√2) + (c + d√2)i

Значит:

Q(√2, i)
=
{(a + b√2) + (c + d√2)i | a, b, c, d ∈ Q}

Это smallest field над Q, содержащее все четыре roots:

±√2, ±i

Пример над `Z_3`: splitting field of `x^2 + x + 2`

Теперь рассмотрим:

f(x) = x^2 + x + 2

над:

Z_3

Проверим roots в Z_3.

Для 0:

f(0) = 2

Для 1:

f(1) = 1 + 1 + 2 = 4 ≡ 1

Для 2:

f(2) = 4 + 2 + 2 = 8 ≡ 2

Ни разу не получилось 0.

Так как degree равна 2, отсутствие roots означает, что:

x^2 + x + 2

irreducible over Z_3.

Строим extension field:

E = Z_3[x] / <x^2 + x + 2>

Обозначим:

β = x + <x^2 + x + 2>

Тогда в поле E выполняется:

β^2 + β + 2 = 0

Отсюда:

β^2 = -β - 2

В Z_3:

-1 = 2

и:

-2 = 1

поэтому:

β^2 = 2β + 1

Элементы этого поля

Так как defining polynomial имеет степень 2, каждый элемент поля можно записать в виде:

a + bβ

где:

a, b ∈ Z_3

Значит всего элементов:

3^2 = 9

Вот они:

0
1
2
β
2β
β + 1
2β + 1
β + 2
2β + 2

Раскладываем `x^2 + x + 2` в `E`

Теперь β — один из корней.

Так как polynomial имеет степень 2, второй корень тоже должен лежать в этом же поле.

Факторизацию можно найти напрямую:

x^2 + x + 2 = (x - β)(x + β + 1)

Проверим:

(x - β)(x + β + 1)
=
x^2 + x - β(β + 1)

Теперь:

β(β + 1) = β^2 + β

А так как:

β^2 + β + 2 = 0

то:

β^2 + β = -2

В Z_3 это то же самое, что:

-2 = 1

Значит:

β(β + 1) = 1

и поэтому:

-β(β + 1) = -1 = 2

Получаем:

(x - β)(x + β + 1)
=
x^2 + x + 2

То есть f(x) действительно полностью раскладывается в E.

А поскольку E было получено добавлением одного корня β, оно и является splitting field:

E = Z_3(β)

Или, в другой записи:

E = Z_3[x] / <x^2 + x + 2>

Почему символ `x` начинает путать

В quotient construction:

Z_3[x] / <x^2 + x + 2>

символ x появляется сразу в двух ролях.

Сначала x — это formal variable в polynomial:

f(x) = x^2 + x + 2

Но потом coset:

x + <x^2 + x + 2>

становится уже настоящим элементом нового поля.

Чтобы не путаться, этот field element переименовывают:

β = x + <x^2 + x + 2>

Тогда можно писать polynomial variable как x, а элемент extension field — как β.

Поэтому factorization записывается так:

x^2 + x + 2 = (x - β)(x + β + 1)

Здесь x — всё ещё переменная polynomial, а β — элемент расширенного поля.

То же splitting field в другой записи: `Z_3(i)`

То же самое поле можно описать иначе.

Пусть:

Z_3(i) = {a + bi | a, b ∈ Z_3}

где:

i^2 = -1

В Z_3:

-1 = 2

поэтому:

i^2 = 2

Тогда элементы:

1 + i

и:

1 - i

являются корнями polynomial:

x^2 + x + 2

Действительно:

x^2 + x + 2 = [x - (1 + i)][x - (1 - i)]

Значит Z_3(i) тоже является splitting field для x^2 + x + 2 над Z_3.

Противоречия здесь нет.

Один и тот же splitting field может иметь разные presentations:

Z_3[x] / <x^2 + x + 2>

и:

Z_3(i)

Это изоморфные поля с 9 элементами.

Simple extensions and quotient fields

Теперь важная связь между двумя способами строить extension fields.

Мы уже видели construction:

F[x] / <p(x)>

где p(x) irreducible over F.

С другой стороны, если в каком-то extension field есть element a, который является root of p(x), то можно рассмотреть field:

F(a)

То есть smallest field containing F and a.

Theorem говорит, что эти две конструкции essentially the same.

Theorem: `F(a) ≅ F[x] / <p(x)>`

Пусть:

is a field, and:

p(x) ∈ F[x]

is irreducible over F.

Пусть a — root of p(x) in some extension field E of F.

То есть:

p(a) = 0

Тогда:

F(a) ≅ F[x] / <p(x)>

И если:

deg p(x) = n

то every element of F(a) can be uniquely written as:

c_(n-1)a^(n-1) + c_(n-2)a^(n-2) + ... + c_1a + c_0

where:

c_0, c_1, ..., c_(n-1) ∈ F

Что это значит по-человечески

Если a satisfies irreducible polynomial degree n, то нам не нужны powers выше:

a^(n-1)

Почему?

Потому что equation:

p(a) = 0

позволяет выражать higher powers of a через lower powers.

Например, если:

p(x) = x^2 + 1

и:

p(a) = 0

то:

a^2 + 1 = 0

значит:

a^2 = -1

Поэтому any expression involving a^2, a^3, a^4, etc. can be reduced to form:

c_1a + c_0

Именно поэтому в:

Q(i)

каждый element имеет вид:

a + bi

а не бесконечную мешанину powers of i.

Почему quotient construction даёт то же самое

В поле:

F[x] / <p(x)>

элемент:

x + <p(x)>

играет роль корня.

Обозначим его:

α = x + <p(x)>

Тогда:

p(α) = 0

потому что сам polynomial p(x) становится нулём по модулю ideal:

<p(x)>

То есть в quotient мы специально создаём новую среду, где у p(x) появляется корень.

Если где-то в другом extension field уже есть корень a того же irreducible polynomial, то поле:

F(a)

устроено так же, как:

F[x] / <p(x)>

Иными словами:

F(a)

и:

F[x] / <p(x)>

— это две разные записи одного и того же типа расширения.

В первом случае мы говорим: «возьмём поле F и добавим к нему корень a».

Во втором случае мы говорим: «возьмём polynomial ring F[x] и принудительно сделаем p(x) равным нулю».

Результат с точки зрения algebraic structure получается один и тот же.

Corollary: roots of the same irreducible polynomial generate isomorphic fields

Пусть:

p(x) ∈ F[x]

— irreducible polynomial над F.

Если a — корень p(x) в одном extension field, а b — корень p(x) в другом extension field, то:

F(a) ≅ F(b)

Почему?

Потому что оба поля изоморфны одному и тому же quotient:

F[x] / <p(x)>

То есть:

F(a) ≅ F[x] / <p(x)> ≅ F(b)

Иначе говоря: если два элемента являются корнями одного и того же irreducible polynomial над F, то поля, которые они порождают над F, имеют одинаковую алгебраическую структуру.

Пример: `Q(2^(1/6))`

Рассмотрим polynomial:

f(x) = x^6 - 2

над:

Этот polynomial irreducible над Q.

Например, это следует из Eisenstein’s criterion при:

p = 2

Пусть:

a = 2^(1/6)

Тогда:

a^6 = 2

значит:

a^6 - 2 = 0

То есть a — корень:

x^6 - 2

По theorem:

Q(2^(1/6)) ≅ Q[x] / <x^6 - 2>

А каждый element поля:

Q(2^(1/6))

единственным образом записывается так:

a_0 + a_1 2^(1/6) + a_2 2^(2/6) + a_3 2^(3/6) + a_4 2^(4/6) + a_5 2^(5/6)

где:

a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 ∈ Q

То же самое можно записать как set:

Q(2^(1/6))
=
{a_0 + a_1 2^(1/6) + a_2 2^(2/6) + a_3 2^(3/6) + a_4 2^(4/6) + a_5 2^(5/6) | a_i ∈ Q}

Если смотреть на это поле как на vector space над Q, то его basis:

1, 2^(1/6), 2^(2/6), 2^(3/6), 2^(4/6), 2^(5/6)

А dimension равна:

[Q(2^(1/6)) : Q] = 6

Почему theorem не работает для `Q(π)`

Не каждый element extension field является корнем polynomial над base field.

Например:

π

не является корнем никакого ненулевого polynomial из:

Q[x]

Такие elements называются transcendental.

Поэтому для:

Q(π)

theorem:

F(a) ≅ F[x] / <p(x)>

не применяется.

Причина простая: нет irreducible polynomial:

p(x) ∈ Q[x]

такого что:

p(π) = 0

Это различие станет важным дальше, когда мы будем отделять algebraic extensions от transcendental extensions.

Разные на вид splitting fields могут быть изоморфны

Раньше мы видели, что:

Q[x] / <x^2 + 1>

и:

Q(i)

оба подходят как splitting field для:

x^2 + 1

над:

Выглядят они по-разному.

Первое поле построено через cosets of polynomials:

Q[x] / <x^2 + 1>

А второе записывается как числа вида:

a + bi

Но algebraically это одно и то же.

Эти поля изоморфны.

Идея isomorphism такая:

x + <x^2 + 1>  ↦  i

То есть coset of x переходит в корень i.

Extending isomorphisms to polynomial rings

Пусть есть field isomorphism:

φ : F -> F'

Тогда его можно естественно продолжить до polynomial rings:

φ : F[x] -> F'[x]

Для этого надо просто применить φ к coefficients.

Polynomial:

c_nx^n + c_(n-1)x^(n-1) + ... + c_1x + c_0

переходит в:

φ(c_n)x^n + φ(c_(n-1))x^(n-1) + ... + φ(c_1)x + φ(c_0)

Переменная x остаётся formal variable.

Меняются только coefficients.

Это важно, когда мы сравниваем splitting fields над изоморфными base fields: вместе с самим field isomorphism надо переносить и polynomials.

Лемма: продолжение изоморфизмов после добавления корней

Пусть:

— поле,

p(x) ∈ F[x]

— неприводимый polynomial над F, а a — корень p(x) в некотором расширении поля F.

Пусть также есть field isomorphism:

φ : F -> F'

Применим φ к коэффициентам p(x). Получим polynomial:

φ(p(x)) ∈ F'[x]

Теперь пусть b — корень:

φ(p(x))

в некотором расширении поля F'.

Тогда существует isomorphism:

F(a) -> F'(b)

который:

совпадает с φ на элементах F;
отправляет:

a -> b

Что означает эта лемма

Смысл такой.

Если два base fields уже изоморфны, и мы добавляем к ним соответствующие корни соответствующих неприводимых polynomials, то получившиеся simple extensions тоже будут изоморфны.

То есть поля:

F(a)

и:

F'(b)

имеют одинаковую algebraic structure, если:

F и F' уже совпадают с точностью до изоморфизма;
a и b удовлетворяют соответствующим неприводимым уравнениям.

Грубо говоря, если мы начинаем с «одинаковых» полей и добавляем «одинаковые по смыслу» корни, то результат тоже будет «одинаковым» с точностью до isomorphism.

Зачем это нужно для splitting fields

Splitting field может быть записано по-разному.

Например:

Z_3[x] / <x^2 + x + 2>

и:

Z_3(i)

могут описывать одно и то же поле с 9 элементами.

Лемма говорит, что это не случайность.

Когда две конструкции добавляют корни одного и того же irreducible polynomial, получившиеся поля изоморфны.

Позже эта идея расширяется уже не на один корень, а на все корни polynomial.

И получается важный результат:

splitting fields одного и того же polynomial над одним и тем же base field unique up to isomorphism.

То есть даже если два поля разложения выглядят по-разному, algebraically это одно и то же поле.

Isomorphism of splitting fields

Теперь мы можем сформулировать важный результат:

splitting fields могут выглядеть по-разному, но algebraically они одинаковы up to isomorphism.

Пусть есть field isomorphism:

φ : F -> F'

и polynomial:

f(x) ∈ F[x]

Если:

is a splitting field for f(x) over F, а:

E'

is a splitting field for φ(f(x)) over F', то существует isomorphism:

E -> E'

который agrees with φ on F.

То есть если base fields already correspond to each other, then their splitting fields also correspond.

Что значит `φ(f(x))`

Если:

f(x) = c_nx^n + c_(n-1)x^(n-1) + ... + c_1x + c_0

и:

φ : F -> F'

то:

φ(f(x))

означает polynomial, полученный применением φ к coefficients:

φ(f(x)) =
φ(c_n)x^n + φ(c_(n-1))x^(n-1) + ... + φ(c_1)x + φ(c_0)

Variable x не меняется.

Меняются только coefficients.

Splitting fields are unique

Главное следствие:

any two splitting fields of the same polynomial over the same field are isomorphic.

То есть если:

и:

E'

оба являются splitting fields of f(x) over F, то:

E ≅ E'

Поэтому можно говорить:

the splitting field of f(x) over F

без двусмысленности.

Технически fields могут быть построены по-разному, но с точки зрения algebraic structure они одинаковы.

Пример: `Q[x] / <x^2 + 1>` и `Q(i)`

Мы уже видели два способа получить splitting field for:

x^2 + 1

over:

Первый способ:

Q[x] / <x^2 + 1>

Второй способ:

Q(i)

Они выглядят по-разному.

В первом случае elements are cosets of polynomials.

Во втором случае elements look like:

a + bi

where:

a, b ∈ Q

Но оба fields являются splitting fields of:

x^2 + 1

over Q.

Значит:

Q[x] / <x^2 + 1> ≅ Q(i)

Example: splitting field of `x^n - a` over `Q`

Рассмотрим polynomial:

x^n - a

where:

a ∈ Q

and a is positive.

Один root очевиден:

a^(1/n)

Но generally этого root недостаточно, чтобы polynomial split completely.

Нужны ещё roots of unity.

Пусть:

ω

is a primitive nth root of unity.

Это means:

ω^n = 1

и powers:

1, ω, ω^2, ..., ω^(n-1)

дают все n different nth roots of unity.

Тогда roots of:

x^n - a

are:

a^(1/n)

ωa^(1/n)

ω^2a^(1/n)

…

ω^(n-1)a^(1/n)

Потому что:

(ω^k a^(1/n))^n
=
ω^(kn) · a
=
1 · a
=
a

Значит:

ω^k a^(1/n)

is a root of:

x^n - a

for each:

k = 0, 1, ..., n - 1

So the splitting field over Q is:

Q(a^(1/n), ω)

То есть мы должны добавить:

один nth root of a;
primitive nth root of unity.

Почему одного `a^(1/n)` часто недостаточно

Например:

x^6 - 2

has root:

2^(1/6)

inside:

Q(2^(1/6))

Но polynomial не splits there completely.

Все roots имеют вид:

2^(1/6), ω2^(1/6), ω^2 2^(1/6), ..., ω^5 2^(1/6)

где ω — primitive 6th root of unity.

Если field содержит только real root:

2^(1/6)

но не содержит нужные complex roots of unity, то остальных roots там нет.

Поэтому splitting field is:

Q(2^(1/6), ω)

а не просто:

Q(2^(1/6))

Zeros of an irreducible polynomial

Теперь вопрос:

если polynomial irreducible over F, как он splits in extension field?

Мы знаем, что любой nonconstant polynomial eventually splits in some extension field.

Но irreducible polynomials have special behavior.

Чтобы это понять, вводят formal derivative.

Formal derivative

Пусть:

f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0 ∈ F[x]

Тогда formal derivative / формальная производная polynomial f(x) is:

f'(x) =
n a_n x^(n-1)
+
(n - 1)a_(n-1)x^(n-2)
+
...
+
a_1

Это выглядит как обычная derivative из calculus, но здесь нет limits.

Мы просто формально применяем правило:

(x^n)' = nx^(n-1)

к polynomial.

Почему derivative работает над любым field

В calculus derivative связана с limits.

Но в abstract algebra нам не нужны limits.

Polynomial derivative — это чисто алгебраическая операция над coefficients.

Например, над Q:

f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 7x + 5

получаем:

f'(x) = 12x^3 + 4x - 7

То же самое можно делать и над finite fields.

Например, над Z_5:

f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 7x + 5

Сначала можно привести coefficients modulo 5:

f(x) = 3x^4 + 2x^2 + 3x

потому что:

-7 ≡ 3 (mod 5)

и:

5 ≡ 0 (mod 5)

Теперь берём derivative:

f'(x) = 12x^3 + 4x + 3

После этого снова приводим coefficients modulo 5:

12 ≡ 2 (mod 5)

Значит:

f'(x) = 2x^3 + 4x + 3

Главная мысль: мы не считаем никакие limits. Мы просто применяем формальное правило:

(x^n)' = nx^(n-1)

и потом работаем с coefficients внутри нашего field.

Важный момент в характеристике `p`

В полях характеристики p некоторые производные могут неожиданно превращаться в ноль.

Например, в Z_3[x]:

f(x) = x^3

Формальная производная:

f'(x) = 3x^2

Но в Z_3:

3 = 0

поэтому:

f'(x) = 0

Это одна из причин, почему derivative важна для finite fields: она помогает отслеживать repeated roots, но работает там чуть иначе, чем над R или Q.

Свойства производной

Formal derivative подчиняется привычным правилам.

Для:

f(x), g(x) ∈ F[x]

и:

a ∈ F

имеем:

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

То есть производная суммы равна сумме производных.

(af(x))' = af'(x)

Скаляр можно вынести.

(f(x)g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

Правило произведения тоже работает.

Важно: это algebraic identities в polynomial rings. Никаких limits здесь нет.

Зачем здесь нужна производная

Производная помогает понять, есть ли у polynomial повторяющиеся корни.

В обычной ситуации, если у polynomial есть repeated root, то сам polynomial и его derivative имеют общий factor.

Например:

f(x) = (x - a)^2(x - b)

Тогда factor:

x - a

делит и:

f(x)

и:

f'(x)

Поэтому derivative помогает ответить на вопрос:

irreducible polynomial раскладывается на разные roots или какой-то root повторяется несколько раз?

Это станет важным дальше, когда мы будем говорить про roots of irreducible polynomials и finite fields.

Multiple zeros

Теперь разберём, зачем нам понадобилась formal derivative.

Она помогает понять, есть ли у polynomial repeated roots.

Root называется multiple zero / кратный корень, если он появляется больше одного раза.

Например, polynomial:

(x - a)^2(x - b)

имеет root:

с multiplicity 2.

А root:

имеет multiplicity 1.

То есть a — multiple zero, а b — обычный simple zero.

Criterion for multiple zeros

Пусть:

f(x) ∈ F[x]

Тогда f(x) имеет multiple zero в некотором extension field тогда и только тогда, когда:

f(x)

и его derivative:

f'(x)

имеют common factor positive degree in F[x].

То есть у них должен быть общий nonconstant factor.

Почему это логично

Если:

f(x) = (x - a)^2g(x)

то при differentiating factor (x - a) останется и в derivative.

Не обязательно в той же степени, но хотя бы один copy остаётся.

Поэтому:

x - a

делит и:

f(x)

и:

f'(x)

Значит у них есть common factor.

В обратную сторону идея такая же: если f(x) и f'(x) имеют общий nonconstant factor, значит какой-то root повторяется.

Example

Рассмотрим:

f(x) = (x - 2)^2(x + 1)

Тут root:

имеет multiplicity 2.

Раскроем:

f(x) = (x^2 - 4x + 4)(x + 1)

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

Derivative:

f'(x) = 3x^2 - 6x

Видно, что x - 2 делит both f(x) and f'(x):

f(2) = 0

и:

f'(2) = 12 - 12 = 0

Это и есть сигнал repeated root.

Zeros of irreducible polynomials

Теперь важный результат про irreducible polynomials.

Пусть:

f(x)

is irreducible over field F.

Если field F has characteristic 0, then f(x) has no multiple zeros.

То есть в characteristic 0 irreducible polynomial always splits into distinct roots in its splitting field.

Например, over:

Q
R
C

irreducible polynomial не может иметь repeated roots.

Что происходит в characteristic `p`

Если field F has characteristic:

p > 0

то возможна особая ситуация.

Irreducible polynomial может иметь multiple zeros only if it has form:

f(x) = g(x^p)

for some polynomial:

g(x) ∈ F[x]

То есть в polynomial встречаются only powers:

x^p, x^(2p), x^(3p), ...

Из-за этого derivative может стать zero.

Например, in characteristic p:

(x^p)' = px^(p-1) = 0

because:

p = 0

inside the field.

Perfect fields

Чтобы убрать такие pathological cases, вводят понятие perfect field.

Field F называется perfect / совершенным, если выполняется одно из двух:

F has characteristic 0;
F has characteristic p > 0, and every element of F is a pth power.

Второе условие записывают так:

F^p = {a^p | a ∈ F} = F

То есть для любого element:

b ∈ F

найдётся element:

a ∈ F

такой что:

a^p = b

Почему это важно

Over perfect fields irreducible polynomials behave nicely.

Если:

f(x)

is irreducible over a perfect field F, then f(x) has no multiple zeros.

То есть over perfect field irreducible polynomial splits into distinct roots in its splitting field.

Finite fields are perfect

Самый важный для нас class perfect fields:

finite fields

Every finite field is perfect.

Это особенно важно для finite field theory and crypto.

Если мы работаем over finite field:

F_p

или:

F_(p^n)

то irreducible polynomials over this field do not have repeated roots.

То есть в finite fields irreducible polynomial behaves “normally”: в splitting field он раскладывается на distinct linear factors.

Критерий отсутствия кратных корней

Если:

f(x)

неприводим над perfect field F, то у него нет кратных корней.

То есть в splitting field:

разложение имеет вид:

f(x) = a(x - a1)(x - a2)...(x - an)

где корни:

a1, a2, ..., an

попарно различны.

Повторяющихся factors здесь нет.

Корни неприводимого polynomial в splitting field

Есть ещё один полезный факт.

Пусть:

f(x)

неприводим над F, а E — splitting field для f(x) над F.

Тогда все корни f(x) в E имеют одинаковую multiplicity.

То есть неприводимый polynomial не может разложиться вот так:

(x - a)^2(x - b)(x - c)^5

с разными multiplicities у разных корней.

Если корни повторяются, то они повторяются одинаковое число раз.

Общий вид factorization

Поэтому если:

f(x)

неприводим над F, а E — его splitting field, то:

f(x) = a(x - a1)^n(x - a2)^n ... (x - at)^n

где:

a1, a2, ..., at

— разные элементы E, а:

a ∈ F

То есть каждый корень имеет одну и ту же multiplicity n.

Если F — perfect field, то:

n = 1

и repeated roots вообще не возникают.

Пример repeated root над не-perfect field

Теперь посмотрим, зачем вообще нужно условие perfect field.

Возьмём:

F = Z_2(t)

Это поле rational functions от t с coefficients in Z_2.

Элементы F выглядят так:

h(t) / k(t)

где:

h(t), k(t) ∈ Z_2[t]

и:

k(t) != 0

Теперь рассмотрим:

f(x) = x^2 - t ∈ F[x]

Так как characteristic равна 2, вычитание совпадает со сложением:

x^2 - t = x^2 + t

Почему `f(x)` неприводим над `F`

Если бы f(x) был reducible над F, то, поскольку degree равна 2, у него был бы корень в F.

Это означало бы, что существует:

h(t) / k(t) ∈ Z_2(t)

такой что:

(h(t) / k(t))^2 = t

Тогда:

h(t)^2 = t k(t)^2

Но в Z_2[t] при возведении polynomial в квадрат все exponents удваиваются:

(a0 + a1t + a2t^2 + ...)^2
=
a0^2 + a1^2t^2 + a2^2t^4 + ...

Смешанные слагаемые исчезают, потому что characteristic равна 2.

Значит h(t)^2 содержит только чётные powers of t.

Точно так же k(t)^2 содержит только чётные powers, а:

t k(t)^2

содержит только нечётные powers.

Polynomial только с чётными powers не может быть равен polynomial только с нечётными powers.

Значит такого корня в F нет.

Следовательно:

x^2 - t

неприводим над:

Z_2(t)

Но derivative равна нулю

Теперь посчитаем derivative:

f(x) = x^2 - t

Здесь t — coefficient, а не переменная. Поэтому:

f'(x) = 2x

Но в characteristic 2:

2 = 0

значит:

f'(x) = 0

Получается, что f(x) и f'(x) имеют общий factor. Более того, сам f(x) делит их оба.

По критерию кратных корней это означает, что у f(x) есть repeated root в некотором extension field.

Что происходит в quotient field

Возьмём:

K = F[x] / <x^2 - t>

Обозначим:

α = x + <x^2 - t>

Тогда:

α^2 = t

Значит в K:

x^2 - t = x^2 - α^2

Но в characteristic 2:

x^2 - α^2 = (x - α)^2

потому что:

(x - α)^2 = x^2 - 2αx + α^2

а:

2αx = 0

Кроме того, в characteristic 2 знак не играет роли:

-α = α

Поэтому:

x^2 - t = (x - α)^2

в extension field.

То есть polynomial имеет один корень:

α

но с multiplicity:

Именно такого поведения perfect fields позволяют избежать.

Extension field

Зачем нужны extension fields

Fundamental Theorem of Field Theory

Как это работает

Example: adding a root of x^2 + 1 over Q

Новый элемент α

Почему это похоже на complex numbers

Example over Z_3

First option

Second option

Почему integral domain достаточно

Почему это не работает для произвольных rings

Splitting fields

Example: x^2 + 1 over Q

What does “splits” mean?

Определение

Что значит F(a1, a2, ..., an)

Splitting field depends on the base field

Пример: x^2 + 1

Пример: x^2 - 2

Скобки и квадратные скобки: Q(√2) и Z[√2]

Существование splitting fields

Почему это работает

Пример: splitting field of x^4 - x^2 - 2 над Q

Как выглядят элементы Q(√2, i)

Пример над Z_3: splitting field of x^2 + x + 2

Элементы этого поля

Раскладываем x^2 + x + 2 в E

Почему символ x начинает путать

То же splitting field в другой записи: Z_3(i)

Simple extensions and quotient fields

Theorem: F(a) ≅ F[x] / <p(x)>

Что это значит по-человечески

Почему quotient construction даёт то же самое

Corollary: roots of the same irreducible polynomial generate isomorphic fields

Пример: Q(2^(1/6))

Почему theorem не работает для Q(π)

Разные на вид splitting fields могут быть изоморфны

Extending isomorphisms to polynomial rings

Лемма: продолжение изоморфизмов после добавления корней

Что означает эта лемма

Зачем это нужно для splitting fields

Isomorphism of splitting fields

Что значит φ(f(x))

Splitting fields are unique

Пример: Q[x] / <x^2 + 1> и Q(i)

Example: splitting field of x^n - a over Q

Почему одного a^(1/n) часто недостаточно

Zeros of an irreducible polynomial

Formal derivative

Почему derivative работает над любым field

Важный момент в характеристике p

Свойства производной

Зачем здесь нужна производная

Multiple zeros

Criterion for multiple zeros

Почему это логично

Example

Zeros of irreducible polynomials

Что происходит в characteristic p

Perfect fields

Почему это важно

Finite fields are perfect

Критерий отсутствия кратных корней

Корни неприводимого polynomial в splitting field

Общий вид factorization

Пример repeated root над не-perfect field

Почему f(x) неприводим над F

Но derivative равна нулю

Что происходит в quotient field

Example: adding a root of `x^2 + 1` over `Q`

Новый элемент `α`

Example over `Z_3`

Example: `x^2 + 1` over `Q`

Что значит `F(a1, a2, ..., an)`

Пример: `x^2 + 1`

Пример: `x^2 - 2`

Скобки и квадратные скобки: `Q(√2)` и `Z[√2]`

Пример: splitting field of `x^4 - x^2 - 2` над `Q`

Как выглядят элементы `Q(√2, i)`

Пример над `Z_3`: splitting field of `x^2 + x + 2`

Раскладываем `x^2 + x + 2` в `E`

Почему символ `x` начинает путать

То же splitting field в другой записи: `Z_3(i)`

Theorem: `F(a) ≅ F[x] / <p(x)>`

Пример: `Q(2^(1/6))`

Почему theorem не работает для `Q(π)`

Что значит `φ(f(x))`

Пример: `Q[x] / <x^2 + 1>` и `Q(i)`

Example: splitting field of `x^n - a` over `Q`

Почему одного `a^(1/n)` часто недостаточно

Важный момент в характеристике `p`

Что происходит в characteristic `p`

Почему `f(x)` неприводим над `F`