В главе про isomorphisms мы рассматривали отображения, которые показывают, что две группы имеют одну и ту же структуру.
Isomorphism должен:
- сохранять group operation;
- быть one-to-one;
- быть onto.
Но часто нам нужно отображение, которое сохраняет операцию, даже если часть информации при этом теряется.
Такое отображение называется group homomorphism / гомоморфизмом групп.
Главная идея
Homomorphism переводит элементы одной группы в другую так, чтобы выполнение операции до и после mapping давало одинаковый результат.
Если:
φ : G -> H
— homomorphism, то:
φ(ab) = φ(a)φ(b)
для любых:
a, b ∈ G
Слева мы:
- сначала выполняем операцию в
G; - затем применяем
φ.
Справа мы:
- сначала применяем
φк обоим элементам; - затем выполняем операцию в
H.
Результат должен совпасть.
В additive notation
Если обе группы записаны аддитивно, условие принимает вид:
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
Например:
φ : Z -> Z_n
φ(m) = m mod n
Тогда:
φ(a + b) = (a + b) mod n
и:
φ(a) + φ(b)
=
(a mod n) + (b mod n)
После reduction modulo n результаты совпадают.
Homomorphism и isomorphism — не одно и то же
Каждый isomorphism является homomorphism. Но не каждый homomorphism является isomorphism.
Homomorphism обязан сохранять операцию, однако он может:
- отправлять разные элементы в один и тот же результат;
- не попадать во все элементы codomain;
- уменьшать порядки элементов;
- сжимать большую группу в меньшую.
То есть homomorphism может терять информацию.
Пример: integers переходят в Z_n
Рассмотрим mapping:
φ : Z -> Z_n
φ(m) = m mod n
Например, при:
n = 5
получаем:
φ(2) = 2
φ(7) = 2
φ(12) = 2
φ(-3) = 2
Разные целые числа переходят в один элемент Z5. Значит mapping не one-to-one.
Но операция сохраняется:
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
Например:
a = 7
b = 9
Сначала складываем в Z:
7 + 9 = 16
Применяем mapping:
φ(16) = 1
Теперь другим путём:
φ(7) = 2
φ(9) = 4
Складываем modulo 5:
2 + 4 = 6 ≡ 1 (mod 5)
Получили тот же результат:
φ(7 + 9) = φ(7) + φ(9)
Следовательно, это homomorphism.
Kernel: какие элементы превращаются в identity
Одна из главных вещей, связанных с homomorphism, — его kernel / ядро.
Пусть:
φ : G -> H
Тогда kernel определяется как:
Ker φ = {g ∈ G | φ(g) = e_H}
Здесь e_H — identity element целевой группы H.
Kernel содержит все элементы исходной группы, которые mapping превращает в identity.
Интуитивный смысл kernel
Kernel показывает:
какую часть исходной группы homomorphism перестаёт различать.
Все элементы kernel становятся identity в целевой группе.
Если kernel содержит только identity:
Ker φ = {e_G}
то mapping ничего лишнего не склеивает и является one-to-one. Если kernel содержит несколько элементов, mapping теряет информацию.
Kernel mapping Z -> Z_n
Вернёмся к:
φ : Z -> Z_n
φ(m) = m mod n
Identity в additive group Z_n — это `0.
Поэтому kernel состоит из всех целых чисел, которые переходят в 0 modulo n:
Ker φ = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...}
То есть:
Ker φ = nZ
Например, при n = 5:
Ker φ = 5Z
Ker φ = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}
Именно числа, отличающиеся на элемент kernel, переходят в одинаковый результат:
2
7
12
-3
Все они отличаются друг от друга на числа, кратные 5.
Image: что осталось после mapping
Кроме kernel, важно понятие image / образа.
Image homomorphism:
φ(G)
— это множество всех элементов целевой группы, в которые mapping действительно попадает:
φ(G) = {φ(g) | g ∈ G}
Codomain может быть больше image.
Например:
φ : R* -> R*
φ(x) = x^2
Здесь R* — nonzero real numbers под умножением.
Любой результат x² положительный, поэтому:
φ(R*) = R_positive
Mapping не попадает в отрицательные числа.
Следовательно, он не onto как mapping:
R* -> R*
Пример: φ(x) = x² под умножением
Рассмотрим multiplicative group:
R* = R \ {0}
То есть R* состоит из всех ненулевых real numbers, а групповой операцией является multiplication. \ {0} — значит “без нуля”.
Определим mapping:
φ : R* -> R*
по правилу:
φ(x) = x²
Mapping действительно переводит элементы R* обратно в R*: если x != 0, то:
x² != 0
Проверяем сохранение операции
Чтобы φ была homomorphism, должно выполняться:
φ(ab) = φ(a)φ(b)
для любых:
a, b ∈ R*
Считаем левую сторону:
φ(ab) = (ab)²
Так как multiplication real numbers коммутативно:
(ab)² = abab = aabb = a²b²
А:
a² = φ(a)
b² = φ(b)
Следовательно:
φ(ab) = a²b² = φ(a)φ(b)
Значит:
φ(x) = x²
является group homomorphism из (R*, ·) в (R*, ·).
Kernel
Kernel состоит из элементов исходной группы, которые переходят в identity целевой группы.
Identity в multiplicative group — это 1. Поэтому ищем все x ∈ R*, для которых:
φ(x) = 1
То есть:
x² = 1
У этого уравнения два решения:
x = 1
x = -1
Следовательно:
Ker φ = {1, -1}
Что означает этот kernel
Mapping не различает числа, отличающиеся только знаком:
φ(x) = x²
и:
φ(-x) = (-x)² = x²
Поэтому:
φ(x) = φ(-x)
Например:
φ(3) = 9
φ(-3) = 9
φ(5) = 25
φ(-5) = 25
Именно элементы kernel:
{1, -1}
объясняют это склеивание: x и -x отличаются умножением на -1, а -1 лежит в kernel.
Image
Квадрат любого ненулевого real number положителен, поэтому:
φ(R*) = R_positive
Mapping не попадает в отрицательные числа.
Следовательно, как mapping:
φ : R* -> R*
он не является onto.
Он также не является one-to-one, потому что:
φ(x) = φ(-x)
Но он является 2-to-1 mapping на свой image:
R_positive
Каждое положительное число y имеет два preimages:
sqrt(y)
и:
-sqrt(y)
Non-example: φ(x) = x² под сложением
Теперь рассмотрим ту же формулу, но другую group operation:
φ : (R, +) -> (R, +)
φ(x) = x^2
Для homomorphism должно выполняться:
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
Но:
φ(a + b) = (a + b)^2
φ(a) + φ(b) = a^2 + b^2
generally:
(a + b)^2 != a^2 + b^2
Например:
a = 2
b = 3
Тогда:
φ(2 + 3) = φ(5) = 25
Но:
φ(2) + φ(3) = 4 + 9 = 13
Поэтому:
25 != 13
Следовательно, mapping не является homomorphism группы (R, +).
Одна и та же функция может быть homomorphism для одной group operation и не быть homomorphism для другой.
Пример: absolute value
Рассмотрим nonzero real numbers под умножением R* и mapping:
φ(x) = |x|
Проверяем операцию:
φ(xy) = |xy|
Но:
|xy| = |x||y|
Следовательно:
φ(xy) = φ(x)φ(y)
Значит absolute value — homomorphism.
Kernel:
Ker φ = {x ∈ R* | |x| = 1}
Поэтому:
Ker φ = {1, -1}
Mapping “забывает” знак числа:
2 и -2 -> 2
5 и -5 -> 5
Homomorphism обязан быть well-defined
Когда элементы исходной группы могут иметь несколько записей, нужно проверить, что mapping не зависит от выбранной записи. Это называется well-defined / корректно определённое отображение.
Рассмотрим quotient group:
Z / 3Z
В ней:
0 + 3Z = 3 + 3Z
потому что 0 и 3 лежат в одном coset.
Допустим, мы пытаемся определить:
φ(x + 3Z) = 3x mod 6
Проверим два representatives одного coset.
Для x = 0:
φ(0 + 3Z) = 3 · 0 = 0 mod 6
Для x = 3:
φ(3 + 3Z) = 3 · 3 = 9 ≡ 3 (mod 6)
Но:
0 + 3Z = 3 + 3Z
а результаты разные:
0 != 3 in Z6
Значит это вообще не функция на cosets. Она не well-defined.
Главная проверка:
разные representatives одного элемента должны давать одинаковый результат.
Основные свойства homomorphisms
Пусть:
φ : G -> H
— group homomorphism.
Тогда автоматически выполняется несколько важных свойств.
1. Identity переходит в identity
φ(e_G) = e_H
Почему?
φ(e_G)
=
φ(e_Ge_G)
=
φ(e_G)φ(e_G)
Сокращаем один множитель:
φ(e_G) = e_H
2. Степени сохраняются
Для любого integer n:
φ(g^n) = φ(g)^n
Например:
φ(g^3)
=
φ(ggg)
=
φ(g)φ(g)φ(g)
=
φ(g)^3
В additive notation:
φ(ng) = nφ(g)
3. Порядок образа делит порядок исходного элемента
Если:
|g| = n
то:
|φ(g)| divides n
Потому что:
g^n = e_G
Применяем φ:
φ(g^n) = φ(e_G)
Следовательно:
φ(g)^n = e_H
Значит порядок φ(g) делит n.
Homomorphism может уменьшить порядок элемента, но не может сделать его больше.
Пример
Пусть элемент g имеет порядок 6. Тогда порядок φ(g) может быть:
1, 2, 3 или 6
Но не может быть:
4, 5, 7, ...
4. Kernel является подгруппой
Ker φ ≤ G
Действительно, если:
a, b ∈ Ker φ
то:
φ(a) = e_H
φ(b) = e_H
Следовательно:
φ(ab^-1)
=
φ(a)φ(b)^-1
=
e_He_H^-1
=
e_H
Поэтому:
ab^-1 ∈ Ker φ
5. Kernel всегда normal
Более того:
Ker φ ◁ G
Возьмём:
k ∈ Ker φ
x ∈ G
Тогда:
φ(xkx^-1)
=
φ(x)φ(k)φ(x)^-1
Но:
φ(k) = e_H
поэтому:
φ(xkx^-1)
=
φ(x)e_Hφ(x)^-1
=
e_H
Следовательно:
xkx^-1 ∈ Ker φ
Значит kernel normal.
Это один из главных источников normal subgroups:
kernels of homomorphisms are always normal.
Когда два элемента имеют одинаковый image
Для homomorphism:
φ(a) = φ(b)
тогда и только тогда, когда:
aKer φ = bKer φ
То есть два элемента переходят в одинаковый результат ровно тогда, когда лежат в одном coset kernel.
Почему
Начнём с:
φ(a) = φ(b)
Тогда:
φ(a)^-1φ(b) = e_H
Следовательно:
φ(a^-1b) = e_H
Значит:
a^-1b ∈ Ker φ
А это означает:
aKer φ = bKer φ
Preimage одного элемента — coset kernel
Пусть:
φ(g) = y
Тогда все элементы, которые также переходят в y, образуют coset:
gKer φ
То есть:
φ^-1(y) = gKer φ
Здесь:
φ^-1(y)
не означает применение inverse function. Это preimage / обратный образ:
φ^-1(y) = {x ∈ G | φ(x) = y}
Если homomorphism не one-to-one, inverse function может вообще не существовать, но preimage существует.
Размер kernel и количество склеенных элементов
Если kernel finite и:
|Ker φ| = n
то каждый элемент image имеет ровно n preimages. То есть mapping является:
n-to-1
на свой image.
Причина проста: каждый preimage является coset kernel, а каждый coset содержит столько же элементов, сколько kernel.
Главный числовой пример: φ(x) = 3x в Z12
Рассмотрим:
φ : Z12 -> Z12
φ(x) = 3x mod 12
Проверяем homomorphism
Операция в Z12 — addition modulo 12.
φ(a + b)
=
3(a + b)
=
3a + 3b
Следовательно:
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
Mapping является homomorphism.
Считаем значения
φ(0) = 0
φ(1) = 3
φ(2) = 6
φ(3) = 9
φ(4) = 0
φ(5) = 3
φ(6) = 6
φ(7) = 9
φ(8) = 0
φ(9) = 3
φ(10) = 6
φ(11) = 9
Image:
φ(Z12) = {0, 3, 6, 9}
Kernel
Ищем элементы, переходящие в additive identity 0:
3x ≡ 0 (mod 12)
Решения:
x = 0, 4, 8
Поэтому:
Ker φ = {0, 4, 8}
Kernel содержит 3 элемента. Следовательно, каждый элемент image имеет ровно 3 preimages.
Cosets kernel
K = Ker φ = {0, 4, 8}
Distinct cosets:
0 + K = {0, 4, 8}
1 + K = {1, 5, 9}
2 + K = {2, 6, 10}
3 + K = {3, 7, 11}
Все элементы одного coset имеют одинаковый image:
{0, 4, 8} -> 0
{1, 5, 9} -> 3
{2, 6, 10} -> 6
{3, 7, 11} -> 9
Например:
φ^-1(6) = {2, 6, 10}
И действительно:
φ^-1(6) = 2 + Ker φ
Что здесь делает kernel
Mapping склеивает Z12 в четыре блока:
12 элементов
↓
4 cosets по 3 элемента
↓
4 элемента image
Kernel — это блок, который переходит в identity. Остальные preimages являются его сдвигами.
Image подгруппы является подгруппой
Если:
S ≤ G
то:
φ(S)
является подгруппой H.
Здесь:
φ(S) = {φ(s) | s ∈ S}
Например, в предыдущем mapping возьмём:
S = <2> = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
Тогда:
φ(S) = {0, 6}
Это подгруппа Z12.
Cyclic structure сохраняется в image
Если S cyclic:
S = <a>
то:
φ(S) = <φ(a)>
То есть image cyclic group также cyclic. Почему?
Каждый элемент S имеет вид:
a^k
Поэтому его image:
φ(a^k) = φ(a)^k
Следовательно, весь image порождается одним элементом φ(a).
Abelian structure сохраняется в image
Если S Abelian, то φ(S) тоже Abelian. Пусть:
x = φ(a)
y = φ(b)
где:
a, b ∈ S
Так как S Abelian:
ab = ba
Следовательно:
xy
=
φ(a)φ(b)
=
φ(ab)
=
φ(ba)
=
φ(b)φ(a)
=
yx
Normal subgroup переходит в normal subgroup image
Если:
N ◁ G
то:
φ(N) ◁ φ(G)
Важно:
φ(N)
гарантированно normal именно в φ(G), а не обязательно во всём codomain H, если mapping не onto.
Preimage подгруппы
Если:
L ≤ H
то preimage:
φ^-1(L)
=
{g ∈ G | φ(g) ∈ L}
является подгруппой G.
Если L normal in H, то:
φ^-1(L) ◁ G
Kernel является частным случаем:
Ker φ = φ^-1({e_H})
А trivial subgroup:
{e_H}
всегда normal.
Поэтому kernel всегда normal.
Когда homomorphism становится isomorphism
Homomorphism one-to-one тогда и только тогда, когда:
Ker φ = {e_G}
Почему?
Если два элемента имеют одинаковый image:
φ(a) = φ(b)
то:
aKer φ = bKer φ
Если kernel состоит только из identity, получаем:
a = b
Следовательно, mapping injective.
Если homomorphism одновременно:
- onto;
- имеет trivial kernel;
то он является isomorphism.
Homomorphisms из cyclic groups
Homomorphism из cyclic group полностью определяется тем, куда переходит generator.
Пусть:
G = <a>
и мы выбрали:
φ(a) = b
Тогда для любого элемента:
a^k ∈ G
обязательно:
φ(a^k) = b^k
Других вариантов нет. Но b нельзя выбирать совсем произвольно: он должен удовлетворять relations исходной группы.
Пример: homomorphisms из Z12 в Z30
Рассмотрим additive groups:
φ : Z12 -> Z30
Группа Z12 порождается элементом 1.
Поэтому homomorphism полностью определяется значением:
φ(1) = a
Тогда:
φ(x) = xa mod 30
Но в Z12:
12 · 1 = 0
Homomorphism обязан сохранить это relation:
φ(12 · 1) = φ(0)
Значит:
12φ(1) = 0 in Z30
То есть:
12a ≡ 0 (mod 30)
Решения:
a = 0, 5, 10, 15, 20, 25
Следовательно, существует шесть homomorphisms:
φ_0(x) = 0
φ_5(x) = 5x mod 30
φ_10(x) = 10x mod 30
φ_15(x) = 15x mod 30
φ_20(x) = 20x mod 30
φ_25(x) = 25x mod 30
Количество получилось равным:
gcd(12, 30) = 6
В общем случае число homomorphisms:
Z_n -> Z_m
равно:
gcd(n, m)
Зачем это нужно
Homomorphisms позволяют изучать сложную группу через более простую.
Они показывают:
- какая часть структуры сохраняется;
- какая часть склеивается;
- что именно теряется;
- какие normal subgroups возникают;
- как исходная группа связана со своим image;
- почему quotient groups появляются естественным образом.
Kernel описывает потерянную информацию. Image описывает сохранившуюся информацию. А cosets kernel показывают, какие элементы mapping перестал различать.
Связь с factor groups
В примере:
φ : Z12 -> Z12
φ(x) = 3x mod 12
мы получили:
Ker φ = {0, 4, 8}
и:
φ(Z12) = {0, 3, 6, 9}
Cosets kernel:
{0,4,8}
{1,5,9}
{2,6,10}
{3,7,11}
соответствуют четырём элементам image.
Поэтому возникает связь:
Z12 / Ker φ ≅ φ(Z12)
Это не случайность. Дальше она будет сформулирована как First Isomorphism Theorem:
G / Ker φ ≅ φ(G)
То есть quotient group по kernel всегда изоморфна image homomorphism.
First Isomorphism Theorem
Мы уже увидели две вещи. Во-первых, homomorphism:
φ : G -> H
может отправлять несколько разных элементов G в один и тот же элемент H.
Во-вторых, элементы, имеющие одинаковый image, лежат в одном coset kernel:
φ(a) = φ(b)
тогда и только тогда, когда:
a Ker φ = b Ker φ
Это означает, что homomorphism склеивает элементы G не случайным образом.
Он склеивает вместе ровно элементы одного coset:
g Ker φ
После такого склеивания получается quotient group:
G / Ker φ
А First Isomorphism Theorem утверждает, что эта quotient group имеет ту же структуру, что и image homomorphism.
Формулировка теоремы
Пусть:
φ : G -> H
— group homomorphism.
Тогда:
G / Ker φ ≅ φ(G)
Здесь:
Ker φ
— элементы G, переходящие в identity, а:
φ(G)
— image, то есть часть H, в которую mapping действительно попадает.
Isomorphism задаётся правилом:
g Ker φ -> φ(g)
То есть каждому coset kernel мы сопоставляем общий image всех его элементов.
Что теорема говорит человеческим языком
Homomorphism делает с группой G две вещи:
- склеивает элементы, которые отличаются на элемент kernel;
- оставляет в результате только image.
First Isomorphism Theorem говорит:
если сначала самостоятельно склеить элементы
Gпо cosets kernel, то получится группа, изоморфная image homomorphism.
Схематично:
G
│
│ склеиваем каждый coset Ker φ
▼
G / Ker φ
│
│ isomorphism
▼
φ(G)
Или ещё короче:
исходная группа / потерянная информация
=
сохранившаяся информация
Пример: φ(x) = 3x в Z12
Рассмотрим homomorphism:
φ : Z12 -> Z12
заданный правилом:
φ(x) = 3x mod 12
Мы уже вычисляли его значения:
φ(0) = 0
φ(1) = 3
φ(2) = 6
φ(3) = 9
φ(4) = 0
φ(5) = 3
φ(6) = 6
φ(7) = 9
φ(8) = 0
φ(9) = 3
φ(10) = 6
φ(11) = 9
Image:
φ(Z12) = {0, 3, 6, 9}
Kernel:
Ker φ = {0, 4, 8}
Обозначим:
K = Ker φ
Cosets kernel
Distinct cosets подгруппы K:
0 + K = {0, 4, 8}
1 + K = {1, 5, 9}
2 + K = {2, 6, 10}
3 + K = {3, 7, 11}
Именно эти четыре cosets являются элементами quotient group:
Z12 / K
Все элементы одного coset имеют одинаковый image
Для первого coset:
φ(0) = φ(4) = φ(8) = 0
Для второго:
φ(1) = φ(5) = φ(9) = 3
Для третьего:
φ(2) = φ(6) = φ(10) = 6
Для четвёртого:
φ(3) = φ(7) = φ(11) = 9
Поэтому можно определить mapping:
Ψ : Z12 / K -> φ(Z12)
так:
Ψ(0 + K) = 0
Ψ(1 + K) = 3
Ψ(2 + K) = 6
Ψ(3 + K) = 9
Или общей формулой:
Ψ(x + K) = φ(x)
Получаем соответствие:
{0, 4, 8} -> 0
{1, 5, 9} -> 3
{2, 6, 10} -> 6
{3, 7, 11} -> 9
Почему mapping между quotient group и image корректен
Один coset можно записать через разных representatives.
Например:
1 + K = 5 + K = 9 + K
Поэтому нужно убедиться, что формула:
Ψ(x + K) = φ(x)
не зависит от выбранного representative.
В нашем примере:
φ(1) = φ(5) = φ(9) = 3
Поэтому независимо от того, напишем мы:
1 + K
5 + K
или:
9 + K
результат будет один 3.
Это верно в общем случае, потому что:
a Ker φ = b Ker φ
означает:
a^-1b ∈ Ker φ
Следовательно:
φ(a^-1b) = e
Но:
φ(a^-1b) = φ(a)^-1φ(b)
Значит:
φ(a)^-1φ(b) = e
и поэтому:
φ(a) = φ(b)
Проверяем свойства isomorphism
Чтобы mapping:
Ψ(g Ker φ) = φ(g)
был isomorphism, нужно проверить четыре вещи.
1. Mapping well-defined
Если два representatives задают один coset:
a Ker φ = b Ker φ
то:
φ(a) = φ(b)
Поэтому один элемент quotient group не может получить два разных image.
2. Mapping onto
Codomain mapping Ψ — это:
φ(G)
То есть множество всех значений вида:
φ(g)
Поэтому каждый элемент image автоматически является образом некоторого coset:
g Ker φ
Следовательно, Ψ onto.
3. Mapping one-to-one
Допустим:
Ψ(a Ker φ) = Ψ(b Ker φ)
Тогда:
φ(a) = φ(b)
А мы уже знаем, что это означает:
a Ker φ = b Ker φ
Следовательно, разные cosets не переходят в один элемент.
Mapping one-to-one.
4. Операция сохраняется
В quotient group:
(a Ker φ)(b Ker φ) = ab Ker φ
Применяем Ψ:
Ψ(ab Ker φ) = φ(ab)
Так как φ — homomorphism:
φ(ab) = φ(a)φ(b)
А это:
Ψ(a Ker φ)Ψ(b Ker φ)
Поэтому:
Ψ((a Ker φ)(b Ker φ))
=
Ψ(a Ker φ)Ψ(b Ker φ)
Операция сохраняется.
Следовательно:
G / Ker φ ≅ φ(G)
Операция в числовом примере
Вернёмся к:
φ(x) = 3x mod 12
Возьмём в quotient group:
(2 + K) + (3 + K)
Складываем representatives:
2 + 3 = 5
Поэтому:
(2 + K) + (3 + K) = 5 + K
Но:
5 + K = 1 + K
Следовательно:
(2 + K) + (3 + K) = 1 + K
Теперь посмотрим на соответствующие элементы image:
Ψ(2 + K) = 6
Ψ(3 + K) = 9
Складываем modulo 12:
6 + 9 = 15 ≡ 3 (mod 12)
А:
Ψ(1 + K) = 3
Получили одинаковый результат.
Именно это означает, что mapping сохраняет операцию.
Почему quotient group и image имеют одинаковый размер
Для finite group:
|G / Ker φ|
=
|G| / |Ker φ|
Но по First Isomorphism Theorem:
G / Ker φ ≅ φ(G)
Поэтому:
|φ(G)|
=
|G| / |Ker φ|
Или:
|G|
=
|Ker φ| · |φ(G)|
Эта формула очень полезна.
Она говорит, что размер исходной группы состоит из:
размер одного склеиваемого блока
×
количество получившихся результатов
То есть:
|Ker φ|
— количество элементов в каждом preimage, а:
|φ(G)|
— количество разных значений mapping.
В примере с Z12
|Z12| = 12
|Ker φ| = 3
|φ(Z12)| = 4
И действительно:
12 = 3 · 4
Mapping является 3-to-1 на свой image:
{0,4,8} -> 0
{1,5,9} -> 3
{2,6,10} -> 6
{3,7,11} -> 9
Следствие для порядков групп
Если G finite, то:
|φ(G)| divides |G|
потому что:
|G| = |Ker φ| · |φ(G)|
Кроме того, если codomain H тоже finite, то:
|φ(G)| divides |H|
потому что image:
φ(G)
является подгруппой H, а порядок подгруппы делит порядок группы по Lagrange’s Theorem.
Пример: Z / nZ ≅ Z_n
Рассмотрим homomorphism:
φ : Z -> Z_n
φ(x) = x mod n
Image — вся группа Z_n, потому что любой остаток:
0, 1, ..., n - 1
является образом соответствующего целого числа.
Поэтому:
φ(Z) = Z_n
Kernel состоит из всех чисел, делящихся на n:
Ker φ = nZ
По First Isomorphism Theorem:
Z / Ker φ ≅ φ(Z)
Подставляем kernel и image:
Z / nZ ≅ Z_n
То есть знакомая modular arithmetic является прямым примером First Isomorphism Theorem.
Natural mapping
Для любой normal subgroup:
N ◁ G
существует естественный homomorphism:
π : G -> G / N
заданный правилом:
π(g) = gN
Он называется:
natural mapping
или:
canonical projection
Mapping просто отправляет каждый элемент G в coset, которому он принадлежит.
Проверяем сохранение операции
π(ab) = abN
А:
π(a)π(b)
=
(aN)(bN)
=
abN
Следовательно:
π(ab) = π(a)π(b)
Значит π — homomorphism.
Kernel natural mapping
Ищем элементы, которые переходят в identity quotient group.
Identity в:
G / N
— это coset:
N
Поэтому:
Ker π
=
{g ∈ G | gN = N}
Но:
gN = N
тогда и только тогда, когда:
g ∈ N
Следовательно:
Ker π = N
Каждая normal subgroup является kernel
Ранее мы доказали:
kernel любого homomorphism является normal subgroup.
Теперь получили обратное утверждение:
каждая normal subgroup является kernel некоторого homomorphism.
Пусть:
N ◁ G
Тогда natural mapping:
π : G -> G / N
π(g) = gN
имеет kernel:
Ker π = N
Следовательно:
normal subgroups
=
possible kernels of homomorphisms
Это объясняет, почему normal subgroups настолько важны. Они не просто подгруппы, у которых совпадают left и right cosets. Они описывают именно ту часть группы, которую некоторый homomorphism может превратить в identity.
Замкнувшийся круг
Теперь все понятия связываются вместе.
Homomorphism
φ : G -> H
сохраняет group operation.
Kernel
Ker φ
показывает, какие элементы склеиваются с identity.
Cosets kernel
g Ker φ
— наборы элементов, имеющих одинаковый image.
Quotient group
G / Ker φ
получается после склеивания каждого такого набора в один элемент.
Image
φ(G)
— структура, которая остаётся после mapping.
First Isomorphism Theorem
G / Ker φ ≅ φ(G)
То есть quotient group по потерянной части изоморфна сохранившейся части.
Homomorphism раскладывается на два шага
Mapping:
φ : G -> φ(G)
можно понимать как композицию двух mappings.
Сначала natural projection:
π : G -> G / Ker φ
π(g) = g Ker φ
Она склеивает элементы одного coset.
Затем isomorphism:
Ψ : G / Ker φ -> φ(G)
Ψ(g Ker φ) = φ(g)
Он просто переименовывает получившиеся cosets в элементы image.
Поэтому:
φ = Ψ ∘ π
Схематично:
φ
G -----------------> φ(G)
\ ▲
\ π │ Ψ
▼ │
G / Ker φ --------
Какой бы маршрут мы ни выбрали, результат один:
Ψ(π(g)) = φ(g)
Такая схема называется commutative diagram / коммутативной диаграммой.
Почему это полезно
First Isomorphism Theorem позволяет не изучать homomorphism как непонятный набор стрелок между элементами.
Вместо этого можно:
- найти kernel;
- построить quotient group;
- сразу понять структуру image.
Например, если:
|G| = 60
и:
|Ker φ| = 12
то:
|φ(G)| = 60 / 12 = 5
Следовательно, image имеет порядок 5. А любая группа prime order cyclic, поэтому:
φ(G) ≅ Z5
Мы узнали структуру image, практически не вычисляя сами значения mapping.
Важное различие: image и homomorphism
First Isomorphism Theorem описывает возможную структуру image. Но разные homomorphisms могут иметь один и тот же image.
Например, mappings:
φ1 : Z -> Z5
φ1(x) = x mod 5
и:
φ2 : Z -> Z5
φ2(x) = 2x mod 5
различны.
Например:
φ1(1) = 1
а:
φ2(1) = 2
Но обе имеют image:
Z5
Поэтому количество homomorphisms и количество различных homomorphic images — не одно и то же.
Главная идея
Homomorphism склеивает элементы одного coset kernel. После этого склеивания quotient group имеет ровно ту же структуру, что и image homomorphism.