Изоморфизмы групп в абстрактной алгебре

Изоморфизм (isomorphism) — это способ формально сказать:

две группы выглядят по-разному, но устроены одинаково.

То есть элементы могут называться по-разному, операция может записываться по-разному, но algebraic structure / алгебраическая структура одна и та же.

Простая аналогия: один человек считает: “one, two, three”, а другой: “eins, zwei, drei”. Слова разные, но оба делают одно и то же — считают.

С группами бывает аналогичная история: одна и та же структура может быть описана разными “языками”.

Зачем нужны изоморфизмы

В abstract algebra часто встречается ситуация, когда две группы внешне выглядят разными, но по сути являются одной и той же группой.

Например группу симметрий квадрата можно описывать как rotations and reflections или как permutations of the corners. Записи разные, но underlying group (внутренняя группа) одна и та же.

Изоморфизм нужен, чтобы сказать это строго: “эти две группы отличаются только notation (способом записи)”.

Определение: Group Isomorphism

Пусть есть две группы:

G
H

Функция:

φ : G -> H

называется group isomorphism / изоморфизмом групп, если выполняются два условия.

1. φ is bijective

Функция φ должна быть bijective / биективной. Значит она:

• one-to-one / injective / инъективной;
• onto / surjective / сюръективной.

То есть каждому элементу из G соответствует ровно один элемент из H, и все элементы H покрыты. Это “честное” переименование элементов без потерь и дублей.

2. φ preserves the group operation

Функция φ должна сохранять операцию группы. В multiplicative notation это пишется так:

φ(ab) = φ(a)φ(b)

для всех:

a, b ∈ G

Смысл: сначала скомбинировать элементы в G, а потом перенести результат в H — то же самое, что сначала перенести оба элемента в H, а потом скомбинировать их уже там.

То есть операция не “ломается” при переводе из одной группы в другую.

Обозначение

Если между группами G и H есть isomorphism, пишут:

G ≅ H

Читается: “G is isomorphic to H” (G изоморфна H).

Важная тонкость про операции

В формуле:

φ(ab) = φ(a)φ(b)

левая операция происходит в группе G, а правая операция происходит в группе H. Эти операции могут быть записаны по-разному.

Например может быть так:

φ(a + b) = φ(a) · φ(b)

То есть в первой группе операция — addition / сложение, а во второй — multiplication / умножение. Главное не то, как операция выглядит, а сохраняется ли структура.

Как доказать, что две группы изоморфны

Обычно нужно сделать четыре вещи.

Step 1: Mapping

Нужно задать функцию:

φ : G -> H

То есть явно сказать, куда переходит каждый элемент группы G.

Step 2: One-to-one

Нужно показать, что φ injective / one-to-one.

То есть:

φ(a) = φ(b) => a = b

Разные элементы не должны склеиваться в один.

Step 3: Onto

Нужно показать, что φ onto / surjective.

То есть каждый элемент из H должен быть образом какого-то элемента из G. Формально: для любого:

y ∈ H

должен найтись:

x ∈ G

такой что:

φ(x) = y

Step 4: Operation-preserving

Нужно показать главное:

φ(ab) = φ(a)φ(b)

Это условие говорит, что φ сохраняет group operation.

Почему operation-preserving — главный пункт

Просто bijection недостаточно. Можно идеально сопоставить элементы один к одному, но при этом сломать операцию. То есть две группы будут иметь одинаковое количество элементов, но не одинаковую структуру.

Isomorphism требует не просто переименовать элементы, а переименовать их так, чтобы таблица операции сохранилась.

Пример: (R, +) и positive reals под умножением

Рассмотрим две группы:

G = (R, +)

и:

H = (R_positive, ·)

Здесь:

• G — все real numbers under addition;
• H — все positive real numbers under multiplication.

То есть в первой группе операция — сложение, а во второй — умножение.

Определим функцию:

φ(x) = 2^x

Эта функция переводит real number x в positive real number 2^x.

Чтобы φ была group isomorphism, нужно проверить четыре вещи:

• mapping;
• one-to-one;
• onto;
• operation-preserving.

1. Mapping

Функция должна действительно отправлять элементы из R в R_positive. Для любого real number x:

2^x > 0

Значит:

φ(x) ∈ R_positive

То есть:

φ : (R, +) -> (R_positive, ·)

корректно задана.

2. One-to-one

Функция φ(x) = 2^x является one-to-one.

Если:

φ(x) = φ(y)

то:

2^x = 2^y

А значит:

x = y

То есть разные inputs не склеиваются в один output.

3. Onto

Функция φ(x) = 2^x является onto на R_positive. Это значит, что любое positive real number можно получить в виде 2^x.

Если взять любое:

y ∈ R_positive

то есть y > 0, можно выбрать:

x = log_2(y)

Тогда:

φ(x) = 2^x = 2^(log_2(y)) = y

Значит каждый элемент R_positive достигается.

4. Operation-preserving

Теперь главное: φ должна сохранять group operation.

В первой группе операция — сложение:

x + y

Во второй группе операция — умножение:

φ(x) · φ(y)

Проверяем:

φ(x + y) = 2^(x+y)

А по свойству степеней:

2^(x+y) = 2^x · 2^y

То есть:

φ(x + y) = φ(x) · φ(y)

Значит φ сохраняет операцию.

Сложение в (R, +) превращается в умножение в (R_positive, ·).

Конкретный пример

Возьмём:

x = 2
y = 3

Сначала сложим в группе (R, +):

x + y = 2 + 3 = 5

Теперь применим φ:

φ(5) = 2^5 = 32

Теперь сделаем наоборот: сначала применим φ к каждому элементу отдельно.

φ(2) = 2^2 = 4
φ(3) = 2^3 = 8

А потом используем операцию второй группы, то есть multiplication:

φ(2) · φ(3) = 4 · 8 = 32

Получили один и тот же результат:

φ(2 + 3) = φ(2) · φ(3)

То есть сложение 2 + 3 в первой группе соответствует умножению 4 · 8 во второй группе.

Итог

Функция:

φ(x) = 2^x

является group isomorphism:

(R, +) ≅ (R_positive, ·)

потому что она:

• корректно отображает R в R_positive;
• one-to-one;
• onto;
• сохраняет group operation.

Главная мысль:

две группы могут использовать разные операции внешне, но быть одинаковыми по структуре.

Non-example: φ(x) = x^3 на (R, +)

Теперь рассмотрим функцию:

φ(x) = x^3

из:

(R, +)

в саму себя. Эта функция one-to-one и onto, но она не является group isomorphism.

Почему? Потому что она не сохраняет операцию сложения:

φ(x + y) = (x + y)^3

но:

φ(x) + φ(y) = x^3 + y^3

А вообще говоря:

(x + y)^3 != x^3 + y^3

Значит операция не сохраняется.

Вывод: bijection сама по себе ещё не isomorphism.

Для конкретики в группе (R, +) возьмём:

x = 1
y = 2

Сначала складываем:

x + y = 1 + 2 = 3

Теперь применяем φ:

φ(3) = 3^3 = 27

А теперь сделаем наоборот: сначала применим φ к каждому элементу отдельно.

φ(1) = 1^3 = 1
φ(2) = 2^3 = 8

Потом используем операцию группы, то есть сложение:

φ(1) + φ(2) = 1 + 8 = 9

Получили разные результаты:

φ(1 + 2) = 27

но:

φ(1) + φ(2) = 9

То есть:

φ(1 + 2) != φ(1) + φ(2)

Значит φ(x) = x^3 не сохраняет group operation.

И поэтому, даже если функция one-to-one и onto, она всё равно не является isomorphism.

Все finite cyclic groups порядка n изоморфны Z_n

Это одна из самых важных идей про cyclic groups. Пусть есть finite cyclic group:

G = <a>

и её порядок равен n:

|G| = n

Это значит, что вся группа G получается из одного элемента a:

G = {e, a, a^2, ..., a^(n-1)}

и после n шагов мы возвращаемся в identity:

a^n = e

То есть степени элемента a идут по кругу длины n.

Почему тут появляется Z_n

Группа Z_n — это тоже “цикл” длины n:

Z_n = {0, 1, 2, ..., n-1}

с операцией addition modulo n. То есть после n - 1 счёт снова возвращается к 0.

Например в Z4:

0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 0 -> 1 -> ...

А в cyclic group порядка 4:

e -> a -> a^2 -> a^3 -> e -> a -> ...

Это одна и та же циклическая структура, просто записанная разными символами.

Как выглядит isomorphism

Можно сопоставить элементы так:

0     -> e
1     -> a
2     -> a^2
3     -> a^3
...
n - 1 -> a^(n-1)

Формально:

φ(k mod n) = a^k

То есть число k из Z_n отправляем в элемент a^k группы G.

Почему операция сохраняется

В Z_n операция — сложение modulo n.

Например:

i + j mod n

В группе G операция — group operation, записанная как multiplication:

a^i a^j = a^(i+j)

Теперь главное: если i + j больше или равно n, это ничего страшного, потому что:

a^n = e

Поэтому показатели степеней считаются modulo n.

То есть:

a^(i+j) = a^((i+j) mod n)

И значит:

φ(i + j mod n) = φ(i)φ(j)

Это ровно условие isomorphism.

Конкретный пример: cyclic group порядка 4

Пусть:

G = <a>
|G| = 4

Тогда:

G = {e, a, a^2, a^3}

и:

a^4 = e

Сопоставим Z4 и G:

0 -> e
1 -> a
2 -> a^2
3 -> a^3

Теперь проверим операцию.

В Z4:

2 + 3 = 5 ≡ 1 (mod 4)

То есть результат — 1.

Здесь важно заметить: Z4 записана в additive notation, а группа G = <a> — в multiplicative notation. Поэтому операция в Z4 — сложение modulo 4, а операция в G — умножение степеней элемента a. Изоморфизм не требует, чтобы операции выглядели одинаково. Он требует, чтобы они соответствовали друг другу.

Через mapping:

φ(1) = a

Откуда берётся mapping φ(k) = a^k

В Z4 элемент 1 — это generator:

Z4 = <1>

В группе G = <a> элемент a — тоже generator.

Поэтому задаём соответствие:

1 -> a

А дальше всё автоматически:

0 -> e
1 -> a
2 -> a^2
3 -> a^3

Формально:

φ(k mod 4) = a^k

То есть generator одной cyclic group отправляем в generator другой cyclic group.

Возвращаемся в группу G

Теперь продолжим в G:

φ(2) = a^2
φ(3) = a^3

Перемножаем:

φ(2)φ(3) = a^2 a^3 = a^5

Но:

a^5 = a^4 a = ea = a

Получили тот же результат:

φ(2 + 3 mod 4) = φ(2)φ(3)

То есть операция сохранилась.

Главная мысль

Finite cyclic group порядка n — это, по сути, тот же самый цикл, что и Z_n.

Разница только в notation:

Z_n: 0, 1, 2, ..., n-1
G:   e, a, a^2, ..., a^(n-1)

Поэтому:

G ≅ Z_n

То есть любая finite cyclic group порядка n изоморфна Z_n.

Infinite cyclic group изоморфна Z

Если cyclic group бесконечная:

G = <a>

то:

G ≅ Z

через соответствие:

a^k -> k

То есть infinite cyclic group — это по сути integers under addition, только записанные другим языком.

Примеры: U(10), U(5) и Z4

Мы можем показать, что

U(10) ≅ Z4

и:

U(5) ≅ Z4

Смысл: эти группы выглядят по-разному, но имеют одну и ту же cyclic structure.

Группа Z4

Z4 = {0, 1, 2, 3}

Операция: addition modulo 4.

Элемент 1 является generator:

<1> = {0, 1, 2, 3}

То есть:

Z4 = <1>

и:

|Z4| = 4

Группа U(10)

U(10) = {1, 3, 7, 9}

Это обратимые элементы modulo 10 под умножением modulo 10.

Операция: multiplication modulo 10.

Элемент 3 является generator:

<3> = U(10)

И:

|U(10)| = 4

Isomorphism между Z4 и U(10)

Раз Z4 порождается 1, а U(10) порождается 3, можно сопоставить:

0 -> 1
1 -> 3
2 -> 9
3 -> 7

Формально:

φ(k) = 3^k mod 10

Теперь проверим, что операция сохраняется.

В Z4:

2 + 3 = 5 ≡ 1 (mod 4)

Значит:

φ(2 + 3) = φ(1) = 3

Теперь отдельно:

φ(2) = 9
φ(3) = 7

Операция в U(10) — умножение modulo 10:

φ(2) · φ(3) = 9 · 7 = 63 ≡ 3 (mod 10)

Получили то же самое:

φ(2 + 3) = φ(2)φ(3)

Значит структура сохраняется.

Поэтому:

Z4 ≅ U(10)

Группа U(5)

U(5) = {1, 2, 3, 4}

Операция: multiplication modulo 5.

Элемент 2 является generator:

<2> = U(5)

И:

|U(5)| = 4

Isomorphism между Z4 и U(5)

Сопоставление:

0 -> 1
1 -> 2
2 -> 4
3 -> 3

Формально:

ψ(k) = 2^k mod 5

Например в Z4:

2 + 3 = 5 ≡ 1 (mod 4)

Значит:

ψ(2 + 3) = ψ(1) = 2

А отдельно:

ψ(2) = 4
ψ(3) = 3

Умножаем в U(5):

ψ(2) · ψ(3) = 4 · 3 = 12 ≡ 2 (mod 5)

Получили то же самое:

ψ(2 + 3) = ψ(2)ψ(3)

Значит:

Z4 ≅ U(5)

Главная мысль

Z4, U(10) и U(5) имеют разные элементы и разные операции:

Z4:    addition modulo 4
U(10): multiplication modulo 10
U(5):  multiplication modulo 5

Но все они cyclic groups of order 4.

Поэтому они algebraically the same:

Z4 ≅ U(10) ≅ U(5)

Разница только в notation и конкретных элементах.

Изоморфизм как тест

Если две группы изоморфны, они должны иметь одинаковые structural properties.

Изоморфизм сохраняет:

• order группы;
• order элементов;
• cyclic / non-cyclic;
• Abelian / non-Abelian;
• subgroup structure;
• количество элементов каждого порядка.

Поэтому если одна группа обладает свойством, которого у другой быть не может, то они не изоморфны.

Пример not isomorphic: (Q, +) и (Q*, ·)

Рассмотрим:

(Q, +)

и:

(Q*, ·)

где Q — rational numbers under addition; Q* — nonzero rational numbers under multiplication, то есть все рациональные числа кроме 0.

Эти группы не изоморфны. Суть такова. Identity element в multiplicative group — это 1.

Но при этом в Q* есть элемент -1 такой что:

(-1)^2 = 1

То есть там есть элемент порядка 2: |-1| = 2.

Но в (Q, +) identity element — это 0. И при этом в (Q, +) нет ненулевого элемента порядка 2. Чтобы элемент x имел порядок 2, нужно:

x + x = 0

то есть:

2x = 0

Но для rational numbers это возможно только если:

x = 0

А 0 — это identity element, у него порядок 1, а не 2.

Значит в (Q, +) нет ненулевого элемента порядка 2.

Если бы изоморфизм существовал, он должен был бы сохранить порядок элементов. Но такая структура не сохраняется.

Значит:

(Q, +) not ≅ (Q*, ·)

Теорема: свойства изоморфизмов на элементах

Пусть:

φ : G -> H

— isomorphism. Тогда выполняются следующие свойства.

1. Identity переходит в identity

Если e_G — identity element группы G, а e_H — identity element группы H, то:

φ(e_G) = e_H

То есть изоморфизм сохраняет нейтральный элемент.

2. Степени сохраняются

Для любого integer n:

φ(a^n) = φ(a)^n

То есть сначала можно возвести a в степень в группе G, а потом применить φ. Или сначала применить φ, а потом возвести результат в степень уже в группе H. Результат будет один и тот же.

В additive notation это выглядит так:

φ(na) = nφ(a)

3. Коммутирование сохраняется

Элементы a и b коммутируют в G:

ab = ba

если и только если их образы коммутируют в H:

φ(a)φ(b) = φ(b)φ(a)

То есть isomorphism сохраняет свойство commute / коммутировать.

4. Генераторы сохраняются

Если:

G = <a>

то:

H = <φ(a)>

То есть если a порождает группу G, то φ(a) порождает группу H.

Изоморфизм переводит generator в generator.

5. Порядок элемента сохраняется

Для любого элемента:

a ∈ G

выполняется:

|a| = |φ(a)|

То есть isomorphism preserves orders (сохраняет порядки элементов).

Это очень важное свойство. Если в одной группе есть элемент порядка 12, то в изоморфной группе тоже должен быть элемент порядка 12.

6. Количество решений уравнений сохраняется

В группе тоже можно рассматривать уравнения. Например:

x^k = b

Это значит:

найти все элементы x группы G, которые при k-кратном применении group operation дают элемент b.

В multiplicative notation:

x^k = x · x · ... · x

k раз.

То есть уравнение:

x^2 = b

означает:

x · x = b

Что утверждает свойство

Если φ : G -> H — isomorphism, то уравнение:

x^k = b

в группе G имеет столько же решений, сколько уравнение:

y^k = φ(b)

в группе H.

Почему? Потому что isomorphism переводит каждый solution x из G в solution φ(x) из H.

Если:

x^k = b

то:

φ(x^k) = φ(b)

А так как isomorphism сохраняет степени:

φ(x^k) = φ(x)^k

получаем:

φ(x)^k = φ(b)

То есть φ(x) — solution соответствующего уравнения в H.

Простой пример

Пусть есть isomorphism:

Z4 ≅ <a>

где:

0 -> e
1 -> a
2 -> a^2
3 -> a^3

В Z4 в additive notation уравнение:

2x = 2

имеет решения:

x = 1
x = 3

потому что:

2 · 1 = 2
2 · 3 = 6 ≡ 2 (mod 4)

В изоморфной cyclic group <a> этому соответствует уравнение:

y^2 = a^2

И его решения:

y = a
y = a^3

потому что:

a^2 = a^2
(a^3)^2 = a^6 = a^2

В данном случае может показаться, что для группы из <a> решений может быть бесконечное количество. Но это не так. Раз <a> ≅ Z4, то <a> конечна и имеет ровно 4 элемента. Поэтому количество решений уравнений тоже конечное.

Выходит, количество решений одинаковое:

2 solutions in Z4
2 solutions in <a>

Isomorphism сохраняет не только элементы и операции, но и algebraic equations. Если две группы изоморфны, то у соответствующих уравнений будет одинаковое количество решений.

7. Количество элементов каждого порядка сохраняется

Если G finite, то G и H имеют одинаковое количество элементов каждого порядка.

Например, если в G есть 5 elements of order 2, то в H тоже должно быть 5 elements of order 2.

Теорема: свойства изоморфизмов на группах

Если:

φ : G -> H

— isomorphism, то группы G и H имеют одинаковые group-theoretic properties.

1. Обратное отображение тоже isomorphism

Если:

φ : G -> H

isomorphism, то:

φ^-1 : H -> G

тоже isomorphism.

То есть изоморфизм работает в обе стороны.

2. Abelian property сохраняется

G is Abelian iff H is Abelian.

То есть если одна группа Abelian, то другая тоже Abelian. И наоборот. Поэтому Abelian group не может быть изоморфна non-Abelian group.

3. Cyclic property сохраняется

G is cyclic iff H is cyclic.

То есть cyclic group может быть изоморфна только cyclic group. Если одна группа cyclic, а другая нет, они не изоморфны.

4. Subgroups переходят в subgroups

Пусть есть isomorphism:

φ : G -> H

и пусть K — подгруппа группы G:

K ≤ G

Тогда можно взять все элементы из K и применить к ним φ. Получится множество:

φ(K) = {φ(k) | k ∈ K}

Это называется образом подгруппы K. То есть φ(K) — это не один элемент, а целое множество всех элементов, в которые перешли элементы из K.

Теорема говорит:

если K ≤ G, то φ(K) ≤ H

То есть image / образ подгруппы тоже будет подгруппой.

Пример

Пусть есть isomorphism:

Z4 ≅ <a>

где:

0 -> e
1 -> a
2 -> a^2
3 -> a^3

В Z4 есть подгруппа:

K = {0, 2}

Потому что:

2 + 2 = 0 mod 4

Теперь применим φ ко всем элементам K:

φ(0) = e
φ(2) = a^2

Значит образ подгруппы K:

φ(K) = {e, a^2}

И это тоже подгруппа в <a>.

Почему? Потому что:

(a^2)^2 = a^4 = e

То есть {e, a^2} замкнута и ведёт себя как маленькая группа внутри <a>.

Главная мысль

Isomorphism не только переводит отдельные элементы. Он переводит целые подгруппы в соответствующие подгруппы.

То есть структура “группа внутри группы” тоже сохраняется.

5. Preimage подгруппы тоже подгруппа

Пусть есть isomorphism:

φ : G -> H

и пусть K — подгруппа группы H:

K ≤ H

Теперь мы хотим посмотреть, какие элементы из G переходят в элементы K.

Это множество называется preimage / обратный образ подгруппы K:

φ^-1(K) = {g ∈ G | φ(g) ∈ K}

То есть φ^-1(K) — это все элементы из G, которые после применения φ попадают в K.

Теорема говорит:

если K ≤ H, то φ^-1(K) ≤ G

То есть обратный образ подгруппы тоже является подгруппой.

Пример

Пусть есть isomorphism:

Z4 ≅ <a>

где:

0 -> e
1 -> a
2 -> a^2
3 -> a^3

В группе <a> есть подгруппа:

K = {e, a^2}

Теперь найдём preimage этой подгруппы в Z4. Нужно взять все элементы Z4, которые переходят в K. По mapping:

φ(0) = e
φ(1) = a
φ(2) = a^2
φ(3) = a^3

В K лежат:

e
a^2

Значит в preimage попадают:

0
2

То есть:

φ^-1(K) = {0, 2}

И это действительно подгруппа в Z4.

Главная мысль

Image идёт “вперёд”:

K ≤ G  =>  φ(K) ≤ H

Preimage идёт “назад”:

K ≤ H  =>  φ^-1(K) ≤ G

То есть isomorphism сохраняет подгруппы в обе стороны.

6. Center переходит в center

Если Z(G) — center группы G, то:

φ(Z(G)) = Z(H)

То есть изоморфизм сохраняет центр группы.

Как использовать эти свойства на группах

Эти свойства помогают быстро доказывать, что две группы не изоморфны. Если изоморфизм существует, то он обязан сохранять:

• order группы;
• order элементов;
• количество элементов каждого порядка;
• Abelian / non-Abelian;
• cyclic / non-cyclic;
• subgroup structure;
• center.

Поэтому если какое-то свойство отличается, groups are not isomorphic.

Пример: группы порядка 12

Возьмём группы

Z12
D6
A4

Все они имеют порядок 12. Но они не изоморфны. Почему?

Потому что максимальные порядки элементов у них разные:

Z12: max element order = 12
D6:  max element order = 6
A4:  max element order = 3

А isomorphism preserves orders. Значит эти группы не могут быть изоморфны.

Ещё один способ отличить

Можно сравнить количество элементов порядка 2. У этих групп оно разное:

Z12: 1 element of order 2
D6:  7 elements of order 2
A4:  3 elements of order 2

Так как isomorphism сохраняет количество элементов каждого порядка, группы снова не могут быть изоморфны.

Автоморфизмы

Automorphism — это isomorphism группы на саму себя.

То есть если isomorphism обычно сравнивает две группы:

G -> H

то automorphism сравнивает группу с самой собой:

G -> G

Формально:

φ : G -> G

является automorphism, если φ — isomorphism.

То есть φ:

• bijective;
• preserves group operation.

Automorphism — это симметрия самой группы. Он переименовывает элементы группы так, что вся group structure сохраняется.

Определение: Automorphism

Изоморфизм из группы G на саму себя называется automorphism of G.

φ : G -> G

Если φ — isomorphism, то:

φ ∈ Aut(G)

Aut(G) — это множество всех automorphisms группы G.

Пример: complex conjugation

Рассмотрим комплексные числа C и отображение:

φ(a + bi) = a - bi

Это complex conjugation. Оно является automorphism группы complex numbers under addition.

Почему? Потому что:

φ(z + w) = φ(z) + φ(w)

То есть сложение сохраняется.

Пример: swap координат в R²

Пусть:

R² = {(a, b) | a, b ∈ R}

Операция в этой группе — componentwise addition, то есть сложение по координатам:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Теперь определим функцию:

φ(a, b) = (b, a)

То есть φ просто меняет координаты местами.

Например:

φ(2, 5) = (5, 2)

Геометрически это reflection across the line:

y = x

То есть отражение плоскости относительно диагонали.

Почему это automorphism

Automorphism — это isomorphism группы на саму себя. Значит нужно, чтобы φ:

• была bijective;
• сохраняла операцию.

С bijective всё понятно: если мы поменяли координаты местами, то можно поменять их обратно.

φ(φ(a, b)) = φ(b, a) = (a, b)

То есть φ сама себе inverse.

Теперь проверим сохранение операции. Возьмём два элемента:

(a, b)
(c, d)

Сначала сложим их в R²:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Теперь применим φ:

φ((a, b) + (c, d)) = φ(a + c, b + d) = (b + d, a + c)

А теперь сделаем наоборот: сначала применим φ к каждому элементу:

φ(a, b) = (b, a)
φ(c, d) = (d, c)

и сложим:

φ(a, b) + φ(c, d) = (b, a) + (d, c) = (b + d, a + c)

Получили тот же результат:

φ((a, b) + (c, d)) = φ(a, b) + φ(c, d)

Значит φ сохраняет операцию.

Поэтому:

φ(a, b) = (b, a)

является automorphism группы R² под сложением.

Внутренний автоморфизм

Inner automorphism — это автоморфизм, который строится из элемента самой группы.

Пусть G — группа и:

a ∈ G

Тогда можно определить отображение:

φ_a(x) = a x a^-1

Это называется conjugation by a (сопряжение элементом a).

Формулу a x a^-1 можно читать так:

сделать a
потом сделать x
потом отменить a

То есть мы как бы смотрим на действие x после временной смены контекста через a. Это не ломает структуру группы, а просто переименовывает / переставляет элементы внутри неё.

Учтите, что если элементы группы являются функциями или движениями и композиция читается справа налево, то выражение a x a^-1 означает: “сначала выполнить a^-1, потом x, потом a”. Главная идея conjugation не в бытовом порядке выполнения, а в том, что элемент x “обёрнут” элементом a и его inverse. Это меняет описание x внутри группы, но сохраняет структуру.

Зачем это нужно

Conjugation показывает, какие элементы группы являются “одинаковыми по роли”, если смотреть на них изнутри группы.

Например, в группе симметрий квадрата разные отражения могут быть похожими по смыслу:

• horizontal reflection;
• vertical reflection;
• diagonal reflection.

Они разные как конкретные движения, но conjugation может переводить одно отражение в другое. То есть inner automorphism помогает увидеть внутренние симметрии самой группы.

Пример: D4

В группе симметрий квадрата D4 возьмём:

a = R90

Тогда:

φ_R90(x) = R90 x R90^-1

Так как:

R90^-1 = R270

получаем:

φ_R90(x) = R90 x R270

Что происходит с горизонтальным отражением

Пусть:

x = H

где H — horizontal reflection.

Тогда:

φ_R90(H) = R90 H R90^-1

Так как:

R90^-1 = R270

получаем:

φ_R90(H) = R90 H R270

Если мы используем convention для композиции движений:

AB = A ∘ B

то произведение читается справа налево.

Значит:

R90 H R270

означает:

сначала R270
потом H
потом R90

После такой conjugation horizontal reflection превращается в vertical reflection:

φ_R90(H) = V

То есть:

H -> V

Главная идея: мы не просто делаем три движения ради итогового положения квадрата. Мы смотрим, во что превращается само движение H, если “переописать” его через поворот R90.

Что происходит с остальными элементами

При conjugation by R90:

R0   -> R0
R90  -> R90
R180 -> R180
R270 -> R270
H    -> V
V    -> H
D    -> D'
D'   -> D

Повороты остаются поворотами вокруг центра квадрата. А отражения меняются местами, потому что поворот на 90° меняет оси отражения.

Главная суть

Inner automorphism — это не новая внешняя операция, а внутренняя симметрия группы.

Он говорит: “если изменить точку зрения внутри группы через элемент a, то какие элементы во что превратятся?”

В D4 conjugation поворотом на 90° показывает, что horizontal и vertical reflections играют одинаковую роль, просто их оси повернуты относительно друг друга.

Aut(G) и Inn(G)

Для группы G используют обозначения:

Aut(G)

— множество всех automorphisms группы G.

И:

Inn(G)

— множество всех inner automorphisms группы G.

Теорема: Aut(G) и Inn(G) — это группы

Множество всех automorphisms группы образует группу Aut(G). Операция в этой группе — composition of functions.

То есть если:

φ, ψ ∈ Aut(G)

то:

φ ∘ ψ ∈ Aut(G)

Аналогично inner automorphisms тоже образуют группу:

Inn(G)

под операцией function composition.

Почему это важно

Automorphisms сами образуют группу. Мы можем изучать не только группу G, но и группу её внутренних симметрий:

Aut(G)

Это уже “группа симметрий группы”.

Пример: Aut(Z10)

Рассмотрим группу:

Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

с операцией addition modulo 10.

То есть:

7 + 6 = 13 ≡ 3 (mod 10)

Что такое automorphism Z10

Automorphism группы Z10 — это способ переставить элементы Z10 так, чтобы сохранить сложение modulo 10.

То есть функция α : Z10 -> Z10 должна быть:

• bijective;
• operation-preserving.

Для additive group условие сохранения операции выглядит так:

α(x + y) = α(x) + α(y)

где всё считается modulo 10.

Почему достаточно знать, куда уходит 1

Группа Z10 порождается элементом 1:

Z10 = <1>

Потому что все элементы получаются повторным сложением 1:

0
1
1 + 1 = 2
1 + 1 + 1 = 3
...

Если automorphism отправляет:

α(1) = r

то автоматически:

α(2) = α(1 + 1) = α(1) + α(1) = r + r = 2r

α(3) = α(1 + 1 + 1) = 3r

и вообще:

α(k) = kr mod 10

То есть весь automorphism определяется одним числом:

r = α(1)

Куда можно отправить 1

Automorphism обязан отправлять generator в generator. Почему? Потому что если 1 порождает всю группу Z10, то его образ α(1) тоже должен порождать всю группу Z10.

Генераторы Z10 — это элементы, взаимно простые с 10:

1, 3, 7, 9

Потому что:

gcd(10, 1) = 1
gcd(10, 3) = 1
gcd(10, 7) = 1
gcd(10, 9) = 1

Значит automorphism может отправить 1 только в один из этих элементов:

1 -> 1
1 -> 3
1 -> 7
1 -> 9

Для удобства эти automorphisms называют:

α1, α3, α7, α9

Индекс показывает, куда отправляется элемент 1. То есть:

α1(1) = 1
α3(1) = 3
α7(1) = 7
α9(1) = 9

Например α3 — это automorphism, который отправляет 1 в 3.

А так как любой элемент k ∈ Z10 получается из 1 повторным сложением, весь automorphism задаётся формулой:

α3(k) = 3k mod 10

В общем виде:

αr(k) = rk mod 10

где:

r ∈ {1, 3, 7, 9}

Пример: α3(k) = 3k mod 10

Возьмём automorphism:

α3(k) = 3k mod 10

Он отправляет 1 в 3:

α3(1) = 3

Теперь посмотрим, куда уходят элементы:

α3(0) = 0
α3(1) = 3
α3(2) = 6
α3(3) = 9
α3(4) = 12 ≡ 2
α3(5) = 15 ≡ 5
α3(6) = 18 ≡ 8
α3(7) = 21 ≡ 1
α3(8) = 24 ≡ 4
α3(9) = 27 ≡ 7

Получили перестановку всех элементов:

0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7

Ничего не склеилось, все элементы Z10 покрыты.

Проверка сохранения операции

Возьмём, например:

x = 4
y = 7

В Z10:

x + y = 4 + 7 = 11 ≡ 1 (mod 10)

Сначала сложим, потом применим α3:

α3(x + y) = α3(1) = 3

Теперь наоборот: сначала применим α3, потом сложим:

α3(4) = 12 ≡ 2
α3(7) = 21 ≡ 1

Складываем:

α3(4) + α3(7) = 2 + 1 = 3

Получили то же самое:

α3(4 + 7) = α3(4) + α3(7)

Значит операция сохраняется.

Почему нельзя отправить 1 в 2

Попробуем:

β(1) = 2

Тогда:

β(k) = 2k mod 10

Смотрим значения:

β(0) = 0
β(1) = 2
β(2) = 4
β(3) = 6
β(4) = 8
β(5) = 0

Уже видно проблему:

β(0) = 0
β(5) = 0

Разные элементы склеились. Функция не one-to-one и не onto.

Почему так случилось? Потому что 2 не generator Z10:

gcd(10, 2) = 2

Элемент 2 порождает только:

<2> = {0, 2, 4, 6, 8}

а не всю группу.

Итог

Все automorphisms группы Z10 имеют вид:

αr(k) = rk mod 10

где:

r ∈ {1, 3, 7, 9}

То есть:

Aut(Z10) = {α1, α3, α7, α9}

Именно поэтому:

Aut(Z10) ≅ U(10)

Потому что U(10) — это как раз группа обратимых элементов modulo 10:

U(10) = {1, 3, 7, 9}

Теорема: Aut(Zn) ≅ U(n)

Для любого positive integer n:

Aut(Zn) ≅ U(n)

Это очень красивая связь.

Смысл:

• automorphisms of Z_n определяются тем, куда уходит 1;
• 1 можно отправить только в generator of Z_n;
• generators of Z_n — это элементы r, для которых:

gcd(n, r) = 1

А это ровно элементы группы U(n). Поэтому:

Aut(Zn) ≅ U(n)

Иными словами

Каждый automorphism Z_n имеет вид:

α_r(k) = rk mod n

где:

r ∈ U(n)

То есть automorphisms of Z_n — это умножения на обратимые числа modulo n.

И всё же, почему Aut(Z_n) ≅ U(n)?

Мы хотим показать, что группа automorphisms of Z_n изоморфна группе units modulo n:

Aut(Z_n) ≅ U(n)

Идея такая:

каждому обратимому элементу r ∈ U(n) соответствует automorphism α_r группы Z_n.

Этот automorphism задаётся так:

α_r(k) = rk mod n

То есть α_r умножает каждый элемент Z_n на r.

Mapping

Определим функцию:

Φ : U(n) -> Aut(Z_n)

по правилу:

Φ(r) = α_r

где:

α_r(k) = rk mod n

То есть элементу r из U(n) мы сопоставляем automorphism α_r.

Почему α_r действительно automorphism

Если:

r ∈ U(n)

то r обратим modulo n.

Значит отображение:

k -> rk mod n

не склеивает элементы и покрывает всё Z_n.

Также оно сохраняет сложение:

α_r(x + y) = r(x + y) = rx + ry = α_r(x) + α_r(y)

Значит:

α_r ∈ Aut(Z_n)

One-to-one

Пусть:

Φ(r) = Φ(s)

Это значит:

α_r = α_s

То есть эти automorphisms одинаково действуют на все элементы Z_n.

В частности, они одинаково действуют на 1:

α_r(1) = α_s(1)

Но:

α_r(1) = r
α_s(1) = s

Значит:

r = s

То есть Φ is one-to-one.

Onto

Возьмём любой automorphism:

α ∈ Aut(Z_n)

Так как Z_n = <1>, automorphism полностью определяется тем, куда он отправляет 1.

Пусть:

α(1) = r

Automorphism обязан отправлять generator в generator.

А generators of Z_n — это ровно элементы r, для которых:

gcd(n, r) = 1

То есть:

r ∈ U(n)

И для любого k ∈ Z_n:

α(k) = α(k · 1) = kα(1) = kr mod n

Значит:

α = α_r

То есть любой automorphism из Aut(Z_n) получается из некоторого r ∈ U(n).

Значит Φ is onto.

Operation-preserving

Теперь самое важное: нужно проверить, что операция сохраняется.

• В U(n) операция — multiplication modulo n.
• В Aut(Z_n) операция — composition of functions.

Нужно показать:

Φ(rs) = Φ(r) ∘ Φ(s)

Берём элемент:

k ∈ Z_n

Слева:

Φ(rs)(k) = α_rs(k) = rsk mod n

Справа:

(Φ(r) ∘ Φ(s))(k) = α_r(α_s(k))

Но:

α_s(k) = sk

значит:

α_r(α_s(k)) = α_r(sk) = r(sk) = rsk mod n

Получили одно и то же:

Φ(rs)(k) = (Φ(r) ∘ Φ(s))(k)

Значит:

Φ(rs) = Φ(r) ∘ Φ(s)

Операция сохраняется.

Итог

Функция:

Φ : U(n) -> Aut(Z_n)

заданная правилом:

Φ(r) = α_r

где:

α_r(k) = rk mod n

является isomorphism.

Поэтому:

Aut(Z_n) ≅ U(n)

Главная мысль:

automorphisms of Z_n — это то же самое, что умножение на обратимые элементы modulo n.

Inner automorphisms and isomorphic subgroups

Inner automorphisms дают удобный способ строить isomorphic subgroups.

Если:

H ≤ G

и мы берём элемент:

a ∈ G

то conjugation даёт новую подгруппу:

a H a^-1 = {a h a^-1 | h ∈ H}

Эта подгруппа изоморфна H.

Иными словами, conjugation переносит подгруппу внутри группы, не меняя её структуру.