Когда мы уже знаем, что такое группа (group), следующий шаг — понять её внутреннюю структуру.
Для этого вводятся понятия:
- порядок группы (order of a group);
- порядок элемента (order of an element);
- подгруппа (subgroup);
- тесты на подгруппу (subgroup tests);
- порождённая подгруппа (generated subgroup);
- центр группы (center of a group);
- централизатор (centralizer).
Это всё нужно, чтобы понимать, как группа устроена изнутри.
Порядок группы
Порядок группы (order of a group) — это количество элементов в группе.
Обозначается так: |G|.
Например, если:
G = {a, b, c}
то:
|G| = 3
Примеры
Группа D4
D4 = {R0, R90, R180, R270, H, V, D, D'}
В ней 8 элементов.
Значит:
|D4| = 8
Группа Z4
Z4 = {0, 1, 2, 3}
Значит:
|Z4| = 4
Бесконечная группа
Группа целых чисел под сложением:
(Z, +)
имеет бесконечный порядок (infinite order), потому что целых чисел бесконечно много.
Порядок элемента
Порядок элемента g (order of an element, обозначается как |g|) в группе G — это минимальное положительное число n, такое что:
g^n = e
где e — нейтральный элемент (identity element).
Важно: здесь речь идёт о repeated application group operation к элементу самому с собой.
Если такого n не существует, говорят, что элемент имеет бесконечный порядок (infinite order).
Порядок элемента в additive notation
Если группа записывается через сложение, то вместо:
g^n = e
пишут:
ng = 0
Потому что в additive notation:
e = 0
а повторение операции означает не степень, а многократное сложение.
Пример: порядок элемента в D4
В D4 нейтральный элемент R0.
Для поворота R90:
(R90)^4 = R0
Потому что четыре поворота на 90 градусов дают полный оборот.
Значит:
|R90| = 4
Пример: порядок элемента в Z4
В группе:
(Z4, +)
операция — сложение modulo 4.
Для элемента 2 получаем:
2 + 2 = 4 ≡ 0 (mod 4)
В additive notation это можно понимать как:
2 · 2 = 0
То есть нужно два раза применить group operation к элементу 2, чтобы получить identity element 0.
Следовательно порядок элемента 2 будет:
|2| = 2
Теперь попробуем посчитать порядок для элемента 3:
3 + 3 = 6 ≡ 2 (mod 4)
ещё не identity.
Продолжаем, складываем два раза:
3 + 3 + 3 = 9 ≡ 1 (mod 4)
ещё не identity.
Ещё раз:
3 + 3 + 3 + 3 = 12 ≡ 0 (mod 4)
Теперь получили identity element.
Поэтому:
|3| = 4
Грубо говоря, нужно четыре тройки, чтобы вернуться обратно в identity element 0.
Кстати, здесь можно заметить, что элемент 3 порождает всю группу Z4, потому что из него можно “добраться” до всех остальных элементов группы.
Подгруппа
Подгруппа (subgroup) — это группа внутри другой группы.
Если:
H ⊆ G
и H сама является группой под той же операцией, что и G, то H называется подгруппой G.
Обозначение:
H ≤ G
Если H является подгруппой G, но не равна всей группе G, пишут:
H < G
Такую подгруппу называют proper subgroup (собственная подгруппа).
Важная тонкость подгрупп
Подгруппа должна использовать ту же операцию, что и большая группа.
Например, Z_n под сложением modulo n не является подгруппой Z под обычным сложением. Почему? Потому что операция другая:
addition modulo n
не то же самое, что:
ordinary addition
Для подгруппы важно не только, чтобы одно множество было внутри другого, но и чтобы операция была та же самая.
Trivial и nontrivial subgroups
Подгруппа {e} называется trivial subgroup (тривиальная подгруппа). Это подгруппа, состоящая только из нейтрального элемента.
Любая другая подгруппа, которая не равна {e}, называется nontrivial subgroup (нетривиальная подгруппа).
Пример подгруппы в D4
В D4 есть подгруппа поворотов:
H = {R0, R90, R180, R270}
Она является subgroup of D4, потому что:
- композиция двух поворотов снова поворот;
- есть identity
R0; - у каждого поворота есть inverse;
- associativity приходит из composition of functions.
То есть:
H ≤ D4
Subgroup tests
Чтобы проверить, является ли subset H подгруппой G, не всегда нужно заново проверять все group axioms.
Есть удобные тесты.
One-Step Subgroup Test
Пусть H — непустое подмножество группы G. Если для любых:
a, b ∈ H
выполняется:
ab^-1 ∈ H
то:
H ≤ G
То есть H — подгруппа G.
В additive notation это выглядит так:
a - b ∈ H
для любых:
a, b ∈ H
Смысл One-Step Test
Формула:
ab^-1
одновременно проверяет две вещи:
- что inverses остаются внутри
H; - что операция не выводит из
H.
То есть это компактная проверка subgroup structure.
Two-Step Subgroup Test
Пусть H — непустое подмножество группы G. Если:
Hзамкнуто относительно операции;Hзамкнуто относительно взятия inverse;
то:
H ≤ G
То есть нужно проверить:
a, b ∈ H => ab ∈ H
и:
a ∈ H => a^-1 ∈ H
Finite Subgroup Test
Если H — непустое конечное подмножество группы G, то всё ещё проще.
Если H замкнуто относительно операции группы, то:
H ≤ G
То есть для finite subset достаточно проверить closure:
a, b ∈ H => ab ∈ H
Почему это работает? Потому что в конечной группе замкнутость уже заставляет inverses появиться внутри множества.
Порождённая подгруппа
Для любого элемента a группы G можно построить подгруппу, порождённую этим элементом (Generated Subgroup).
Обозначение:
<a>
Читается:
subgroup generated by a
Формально:
<a> = {a^n | n ∈ Z}
То есть берём все степени элемента a:
..., a^-2, a^-1, e, a, a^2, a^3, ...
Все эти элементы вместе образуют подгруппу.
Пример: generated subgroup в Z4
В additive notation вместо степеней берутся кратные элемента. В Z4:
<1> = {0, 1, 2, 3}
Потому что:
1
1 + 1 = 2
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 + 1 = 0
То есть элемент 1 порождает всю группу Z4.
А вот:
<2> = {0, 2}
потому что:
2
2 + 2 = 0
Центр группы
Центр группы (center of a group) — это множество элементов группы, которые коммутируют со всеми элементами группы.
Обозначение:
Z(G)
Формально:
Z(G) = {a ∈ G | ax = xa for all x ∈ G}
Иными словами, center — это самая commutative часть группы.
Если группа Abelian, то весь G является центром:
Z(G) = G
Если группа non-Abelian, центр может быть меньше.
Централизатор
Централизатор (centralizer) элемента a — это множество всех элементов группы, которые коммутируют именно с a.
Обозначение:
C(a)
Формально:
C(a) = {x ∈ G | xa = ax}
Center vs Centralizer
Центр:
Z(G)
— элементы, которые коммутируют со всеми.
Централизатор:
C(a)
— элементы, которые коммутируют с конкретным элементом a.
То есть:
center = commute with everyone
centralizer = commute with this one element