В главе про cosets мы увидели, что подгруппа N разбивает группу G на left cosets:
aN = {an | n ∈ N}
и right cosets:
Na = {na | n ∈ N}
В Abelian group left и right cosets совпадают по простой причине: для любых a ∈ G и n ∈ N:
an = na
Поэтому:
aN = Na
В non-Abelian group отдельные элементы обычно не коммутируют:
an != na
Но иногда множества aN и Na всё равно совпадают. При этом необязательно, чтобы:
an = na
для одного и того же n. Достаточно, чтобы для каждого n ∈ N нашёлся некоторый n' ∈ N, такой что:
an = n'a
Если:
aN = Na
для каждого a ∈ G, то N называется normal subgroup / нормальными подгруппами.
Определение normal subgroup
Пусть:
N ≤ G
То есть N — подгруппа группы G.
Подгруппа N называется normal in G, если для любого:
a ∈ G
выполняется:
aN = Na
Обозначение:
N ◁ G
Читается:
N is normal in G
Что именно означает aN = Na
Важно не перепутать условие:
aN = Na
с более сильным условием:
an = na
Normality не требует, чтобы каждый элемент n ∈ N коммутировал с каждым элементом a ∈ G.
Речь идёт о равенстве двух множеств:
aN = {an | n ∈ N}
и:
Na = {na | n ∈ N}
То есть для каждого:
n ∈ N
существует, возможно, другой элемент:
n' ∈ N
такой что:
an = n'a
Элемент n' не обязан совпадать с исходным n.
Normality не означает коммутативность
Условие normal subgroup:
aN = Na
означает равенство двух множеств:
aN = {an | n ∈ N}
Na = {na | n ∈ N}
То есть мы умножаем каждый элемент N сначала слева на a, а потом отдельно — справа на a, и сравниваем получившиеся наборы.
Важно: равенство множеств не требует, чтобы элементы совпадали попарно в одном и том же порядке.
Необязательно:
an = na
для каждого конкретного n ∈ N.
Может получиться так, что:
an = n'a
где:
n' ∈ N
и n' — другой элемент подгруппы.
Например, если:
N = {e, u, v}
то:
aN = {a, au, av}
а:
Na = {a, ua, va}
При этом вполне может быть:
au = va
av = ua
Тогда:
aN = {a, va, ua}
и:
Na = {a, ua, va}
Это одно и то же множество, хотя:
au != ua
и:
av != va
Элементы просто поменялись местами внутри набора.
Поэтому:
normality означает, что умножение слева и справа даёт один и тот же coset как множество, а не то, что каждый элемент
Nкоммутирует сa. Normal не означает Abelian! Normal subgroup не обязана состоять из элементов, которые коммутируют со всей группой. Normality означает только, что при переносе элементов подгруппы через элементыGмы остаёмся внутри той же подгруппы.
То есть подгруппа может внутренне “перемешиваться”, но не разваливается и не превращается в другое множество.
Пример в Abelian group
Рассмотрим:
G = Z12
и подгруппу:
N = {0, 4, 8}
Операция в Z12 — addition modulo 12.
Для любого a ∈ Z12:
a + N = N + a
потому что сложение коммутативно:
a + n = n + a
Следовательно:
N ◁ Z12
Вообще в любой Abelian group каждая подгруппа является normal.
Все подгруппы Abelian group нормальны
Если G Abelian, то для любых:
a ∈ G
n ∈ N
выполняется:
an = na
Поэтому:
aN = Na
для любого a ∈ G.
Следовательно:
every subgroup of an Abelian group is normal.
Normality становится отдельной проблемой только в non-Abelian groups.
Non-example: подгруппа одного отражения в D4 не normal
Рассмотрим группу симметрий квадрата D4.
Обозначим:
r
— поворот на 90°, а:
V
— отражение относительно вертикальной оси.
Возьмём подгруппу:
K = {e, V}
Это действительно подгруппа, потому что:
V^2 = e
Теперь проверим, совпадают ли left и right cosets для элемента r.
Left coset
rK = {re, rV}
Right coset
Kr = {er, Vr}
В D4 поворот и отражение не коммутируют:
rV != Vr
Более того, rV и Vr — два разных диагональных отражения квадрата.
Поэтому:
rK != Kr
Значит существует элемент r ∈ D4, для которого left и right cosets не совпадают.
Следовательно:
K is not normal in D4
Главная мысль:
чтобы подгруппа была normal, равенство
aK = Kaдолжно выполняться для каждогоa ∈ G. Достаточно найти один элемент, для которого cosets различаются, чтобы доказать, что подгруппа не normal.
Conjugation / сопряжение
Проверять равенство:
aN = Na
напрямую не всегда удобно. Поэтому normality обычно проверяют через conjugation / сопряжение.
Для элемента:
x ∈ G
и подгруппы N определим:
xNx^-1 = {xnx^-1 | n ∈ N}
То есть каждый элемент n ∈ N заменяется на:
xnx^-1
Интуиция conjugation
Выражение:
xnx^-1
можно понимать как тот же group action, рассмотренный после внутренней смены “контекста”.
Conjugation может переставить элементы группы, но сохраняет их group-theoretic properties:
- порядок элемента;
- отношения между элементами;
- структуру сгенерированных подгрупп.
Normal subgroup — это подгруппа, которая остаётся той же самой после любого такого внутреннего преобразования.
Normal Subgroup Test
Подгруппа N ≤ G является normal тогда и только тогда, когда для каждого:
x ∈ G
выполняется:
xNx^-1 ⊆ N
В elementwise form это означает:
xnx^-1 ∈ N
для любых:
x ∈ G
n ∈ N
Часто это условие записывают сразу как равенство:
xNx^-1 = N
Почему из inclusion получается equality
Пусть для каждого:
x ∈ G
выполняется:
xNx^-1 ⊆ N
Нужно показать и обратное inclusion:
N ⊆ xNx^-1
Так как условие верно для любого элемента группы, оно верно и для x^-1:
x^-1N(x^-1)^-1 ⊆ N
Но:
(x^-1)^-1 = x
поэтому:
x^-1Nx ⊆ N
Теперь применим к обеим сторонам отображение:
y -> xyx^-1
То есть каждый элемент обоих множеств умножим слева на x, а справа на x^-1.
Если одно множество содержится в другом, то после применения одной и той же функции inclusion сохраняется:
x(x^-1Nx)x^-1 ⊆ xNx^-1
Левая сторона упрощается:
x(x^-1Nx)x^-1
=
(xx^-1)N(xx^-1)
=
eNe
=
N
Поэтому:
N ⊆ xNx^-1
Но изначально у нас уже было:
xNx^-1 ⊆ N
Получили inclusions в обе стороны:
xNx^-1 ⊆ N
и:
N ⊆ xNx^-1
Следовательно:
xNx^-1 = N
Важно: мы не умножаем левую и правую части на разные случайные элементы. Мы применяем к обеим сторонам одно и то же conjugation:
y -> xyx^-1
Почему conjugation test связан с cosets
Начнём с normality:
xN = Nx
Умножим обе части справа на x^-1:
xNx^-1 = Nxx^-1
Так как:
xx^-1 = e
получаем:
xNx^-1 = N
Поэтому условия:
xN = Nx
и:
xNx^-1 = N
описывают одну и ту же идею.
Пример: rotations в D4
Рассмотрим группу симметрий квадрата D4. Обозначим: r — rotation на 90°, а s — некоторое reflection.
Тогда:
r^4 = e
s^2 = e
и:
srs = r^-1
Возьмём подгруппу всех rotations:
R = {e, r, r^2, r^3}
Покажем, что:
R ◁ D4
Conjugation rotation элементом
Если conjugate rotation другим rotation:
r^i r^k r^-i
то rotations коммутируют между собой, поэтому:
r^i r^k r^-i = r^k
Результат снова лежит в R.
Conjugation reflection элементом
Используя:
srs = r^-1
получаем:
sr^k s = r^-k
Но:
r^-k
тоже rotation и также лежит в R.
Следовательно, conjugation любым элементом D4 не выводит нас за пределы R.
Значит:
R ◁ D4
Но rotations не коммутируют со всеми reflections
Например:
sr = r^-1s
Generally:
sr != rs
Поэтому подгруппа rotations normal, но её элементы не обязаны коммутировать со всеми элементами D4.
Это хороший пример того, что:
normal != central
Пример ненормальной подгруппы в D4
Теперь возьмём подгруппу, состоящую из identity и одного reflection:
K = {e, s}
Сравним left и right cosets для элемента r.
Left coset:
rK = {r, rs}
Right coset:
Kr = {r, sr}
Но:
sr = r^-1s = r^3s
Поэтому:
Kr = {r, r^3s}
Generally:
rs != r^3s
Следовательно:
rK != Kr
Поэтому:
K
не является normal subgroup of D4.
Пример Normal Subgroup Test в U(30)
Рассмотрим multiplicative group:
U(30) = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
Операция — multiplication modulo 30.
Возьмём подгруппу:
H = {1, 11}
Это действительно подгруппа, потому что 1 — identity, а:
11 · 11 = 121 ≡ 1 (mod 30)
То есть:
11^-1 = 11
Находим cosets
Первый coset:
1H = {1 · 1, 1 · 11} = {1, 11}
Далее:
7H = {7 · 1, 7 · 11}
Так как:
7 · 11 = 77 ≡ 17 (mod 30)
получаем:
7H = {7, 17}
Аналогично:
13H = {13, 13 · 11}
13 · 11 = 143 ≡ 23 (mod 30)
поэтому:
13H = {13, 23}
И:
19H = {19, 19 · 11}
19 · 11 = 209 ≡ 29 (mod 30)
поэтому:
19H = {19, 29}
Итого distinct cosets:
H = {1, 11}
7H = {7, 17}
13H = {13, 23}
19H = {19, 29}
Они разбивают всю группу U(30).
Проверяем normality через conjugation
Normal Subgroup Test говорит:
H ◁ U(30)
тогда и только тогда, когда для любого:
x ∈ U(30)
выполняется:
xHx^-1 = H
То есть нужно взять каждый элемент h ∈ H и проверить:
xhx^-1 ∈ H
Проверка для x = 7
Inverse элемента 7 modulo 30:
7^-1 = 13
потому что:
7 · 13 = 91 ≡ 1 (mod 30)
Теперь:
7H7^-1
=
{7 · 1 · 13, 7 · 11 · 13}
Первый элемент:
7 · 1 · 13 = 91 ≡ 1 (mod 30)
Второй:
7 · 11 · 13 = 1001 ≡ 11 (mod 30)
Поэтому:
7H7^-1 = {1, 11} = H
Проверка для x = 13
Здесь:
13^-1 = 7
Тогда:
13H13^-1
=
{13 · 1 · 7, 13 · 11 · 7}
Получаем:
13 · 1 · 7 ≡ 1 (mod 30)
и:
13 · 11 · 7 ≡ 11 (mod 30)
Значит:
13H13^-1 = H
Проверка для x = 19
Элемент 19 является обратным самому себе:
19^-1 = 19
потому что:
19 · 19 = 361 ≡ 1 (mod 30)
Тогда:
19H19^-1
=
{19 · 1 · 19, 19 · 11 · 19}
Получаем:
19 · 1 · 19 ≡ 1 (mod 30)
и:
19 · 11 · 19 ≡ 11 (mod 30)
Поэтому:
19H19^-1 = H
Почему результат был ожидаем
Группа U(30) Abelian, потому что multiplication modulo 30 коммутативно.
Поэтому для любых:
x ∈ U(30)
h ∈ H
выполняется:
xhx^-1 = hxx^-1 = h
Следовательно:
xHx^-1 = H
для любого x ∈ U(30).
Значит:
H ◁ U(30)
Center группы всегда normal
Center группы обозначается:
Z(G)
и состоит из элементов, которые коммутируют со всеми элементами G:
Z(G) = {z ∈ G | zg = gz for all g ∈ G}
Если:
z ∈ Z(G)
то для любого x ∈ G:
xzx^-1 = zxx^-1 = z
Поэтому conjugation вообще не меняет элементы center.
Следовательно:
Z(G) ◁ G
Все подгруппы cyclic group нормальны
Любая cyclic group является Abelian.
Если:
G = <a>
то любые её элементы имеют вид:
a^i
a^j
и коммутируют:
a^i a^j = a^(i+j) = a^(j+i) = a^j a^i
А в любой Abelian group каждая подгруппа является normal.
Поэтому, если:
H ≤ G
и G cyclic, то:
H ◁ G
Главная причина:
cyclic => Abelian => every subgroup is normal
Unique subgroup данного порядка является normal
Пусть в группе G есть ровно одна подгруппа N порядка m.
Тогда:
N ◁ G
Почему?
Для любого:
x ∈ G
множество:
xNx^-1
также является подгруппой G.
Кроме того, conjugation является bijection, поэтому:
|xNx^-1| = |N| = m
Но по условию в G существует только одна подгруппа порядка m.
Следовательно:
xNx^-1 = N
для любого x ∈ G.
Значит:
N ◁ G
Произведение normal subgroup и другой подгруппы
Пусть:
N ◁ G
а:
K ≤ G
Тогда множество:
NK = {nk | n ∈ N, k ∈ K}
является подгруппой G.
Это важно, потому что произведение двух произвольных подгрупп не обязано быть подгруппой. Normality N позволяет переставлять элементы N и K с небольшой корректировкой внутри N.
Почему normality помогает доказать, что NK — подгруппа
Пусть:
N ◁ G
и:
K ≤ G
Определим:
NK = {nk | n ∈ N, k ∈ K}
То есть каждый элемент NK должен иметь форму:
элемент из N · элемент из K
Нужно доказать, что NK само является подгруппой.
В чём возникает проблема
Возьмём два элемента из NK:
x = n1k1
y = n2k2
где:
n1, n2 ∈ N
k1, k2 ∈ K
По subgroup test нужно проверить, что:
xy^-1 ∈ NK
Сначала найдём inverse:
y^-1 = (n2k2)^-1 = k2^-1n2^-1
Порядок поменялся, потому что:
(ab)^-1 = b^-1a^-1
Теперь:
xy^-1
=
(n1k1)(k2^-1n2^-1)
Объединим элементы из K:
xy^-1
=
n1(k1k2^-1)n2^-1
Здесь проблема: выражение имеет форму:
N K N
а нам нужно привести его к форме:
N K
Где используется normality
Обозначим:
k = k1k2^-1
Так как K — подгруппа:
k ∈ K
Теперь внутри выражения стоит:
kn2^-1
Нужно перенести n2^-1 влево от k.
Так как N normal:
kn2^-1k^-1 ∈ N
Обозначим этот элемент через:
n' = kn2^-1k^-1
Тогда:
n' ∈ N
Из определения n' получаем:
n'k
=
(kn2^-1k^-1)k
=
kn2^-1
То есть:
kn2^-1 = n'k
Normality позволила заменить неудобный порядок:
K N
на порядок:
N K
Завершаем проверку
Теперь:
xy^-1
=
n1kn2^-1
=
n1n'k
Причём:
n1n' ∈ N
потому что N — подгруппа, и:
k ∈ K
Значит результат имеет форму:
элемент из N · элемент из K
то есть:
xy^-1 ∈ NK
Следовательно:
NK ≤ G
Главная идея
Без normality при перемножении элементов возникают выражения вида:
N K N K
и их не всегда можно собрать обратно в форму NK.
Normality позволяет переставлять блоки:
K N -> N K
при этом элемент из N может измениться, но всё равно останется внутри N.
Поэтому:
N K N K -> N N K K -> N K
Именно это делает NK подгруппой.
Зачем вообще нужны normal subgroups
Главная причина появляется в следующей части. Cosets normal subgroup можно рассматривать как отдельные элементы новой группы.
Эта новая группа называется:
factor group
или:
quotient group
и обозначается:
G / N
Её элементы — не отдельные элементы G, а целые cosets:
aN
Как хочется перемножать cosets
Естественно определить:
(aN)(bN) = abN
Но здесь возникает проблема.
Один и тот же coset можно записать через разных representatives:
aN = a'N
и:
bN = b'N
Нужно, чтобы результат не зависел от того, какие representatives мы выбрали:
abN = a'b'N
Именно normality гарантирует, что такое умножение корректно определено.
Без normality операция над cosets может зависеть от выбора representative, и группы не получится.
Главная мысль normal subgroup
Normal subgroup — это подгруппа, которая не меняется при conjugation элементами всей группы:
xNx^-1 = N
Эквивалентно:
xN = Nx
для любого:
x ∈ G
Normality не означает, что все элементы коммутируют. Она означает, что при внутреннем “перемешивании” элементы подгруппы остаются внутри неё.
Именно normal subgroups позволяют построить factor groups:
G / N
Поэтому они являются одним из центральных объектов group theory.
Factor Groups: как превратить cosets в новую группу
В предыдущей части мы ввели normal subgroups.
Пусть:
N ◁ G
Это означает, что для любого:
a ∈ G
left и right cosets совпадают:
aN = Na
Теперь становится понятно, зачем вообще понадобилось это условие.
Если
Nnormal inG, то cosets подгруппыNсами образуют новую группу.
Эта группа называется:
factor group
или:
quotient group
По-русски обычно говорят фактор-группа или группа частных.
Обозначение:
G / N
Главная идея factor group
Обычные элементы G объединяются в cosets:
aN
После этого каждый coset рассматривается как один элемент новой группы.
То есть вместо отдельных элементов:
a, an1, an2, ...
мы видим один большой объект:
aN
Все элементы одного coset становятся неразличимыми на уровне quotient group.
Можно представлять это как систематическое сжатие группы:
отдельные элементы G
↓
блоки одинакового размера
↓
элементы новой группы G/N
Определение factor group
Пусть:
N ◁ G
Тогда factor group определяется как множество всех cosets подгруппы N:
G / N = {aN | a ∈ G}
Операция задаётся так:
(aN)(bN) = abN
То есть:
- берём representatives
aиb; - перемножаем их в исходной группе и получаем
ab; - находим coset подгруппы
N, содержащийab, то естьabN.
Именно этот coset является результатом операции в factor group.
В additive notation
Если операция в группе — сложение, пишут:
G / N = {a + N | a ∈ G}
А операция выглядит так:
(a + N) + (b + N) = (a + b) + N
Например:
(2 + N) + (5 + N) = 7 + N
Это не обычное деление
Запись:
G / N
не означает, что мы буквально делим одну группу на другую как числа.
Смысл другой:
мы объединяем элементы
Gв cosets подгруппыNи считаем каждый такой coset одним элементом.
Количество элементов factor group равно количеству distinct cosets:
|G / N| = |G : N|
Если G finite, то по Lagrange’s Theorem:
|G / N| = |G| / |N|
Почему здесь необходима normality
Мы хотим определить:
(aN)(bN) = abN
Но один и тот же coset можно записать через разных representatives.
Например:
aN = a'N
и:
bN = b'N
Значит нужно гарантировать, что результат не изменится:
abN = a'b'N
Иначе операция зависела бы не от самих cosets, а от того, какие случайные representatives мы выбрали. Такая операция была бы not well-defined / некорректно определённой.
Именно normality гарантирует, что:
(aN)(bN)
всегда даёт один и тот же coset независимо от representatives.
Что делает normality внутри вычисления
Возьмём элементы:
an1 ∈ aN
bn2 ∈ bN
где:
n1, n2 ∈ N
Их произведение:
(an1)(bn2)
имеет вид:
an1bn2
Чтобы собрать это в coset abN, нам нужно перенести n1 через b. Так как N normal, conjugation элементом b не выводит нас за пределы N.
Поэтому существует некоторый:
n3 ∈ N
такой что:
n1b = bn3
Тогда:
an1bn2 = abn3n2
А поскольку:
n3n2 ∈ N
получаем:
an1bn2 ∈ abN
Поэтому произведение двух cosets действительно является coset:
(aN)(bN) = abN
Пример: factor group Z / 3Z
Рассмотрим additive group целых чисел Z и её подгруппу:
3Z = {..., -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...}
3Z состоит из всех целых чисел, кратных 3.
Так как Z — Abelian group, любая её подгруппа normal:
3Z ◁ Z
Поэтому можно построить factor group:
Z / 3Z
Cosets подгруппы 3Z
Первый coset:
0 + 3Z
содержит все числа, которые при делении на 3 дают остаток 0:
0 + 3Z = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}
Остатки здесь не вводятся отдельно. Они возникают из определения coset:
x ∈ a + 3Z
означает, что x - a ∈ 3Z, то есть x - a делится на 3. А это ровно условие:
x ≡ a (mod 3)
Поэтому cosets подгруппы 3Z — это классы чисел с одинаковыми остатками modulo 3.
Второй coset:
1 + 3Z
содержит все числа с остатком 1:
1 + 3Z = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}
Третий coset:
2 + 3Z
содержит все числа с остатком 2:
2 + 3Z = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}
Других cosets нет. Например:
4 + 3Z = 1 + 3Z
потому что:
4 - 1 = 3 ∈ 3Z
Элементы factor group
Получаем:
Z / 3Z =
{
0 + 3Z,
1 + 3Z,
2 + 3Z
}
Важно: каждый coset здесь считается одним элементом новой группы.
Как работает операция
Операция задаётся так:
(a + 3Z) + (b + 3Z) = (a + b) + 3Z
Например:
(1 + 3Z) + (2 + 3Z)
Сначала складываем representatives:
1 + 2 = 3
Теперь берём coset, содержащий результат 3:
3 + 3Z
Но 3 лежит в 3Z, поэтому:
3 + 3Z = 0 + 3Z
Следовательно:
(1 + 3Z) + (2 + 3Z) = 0 + 3Z
Ещё пример:
(2 + 3Z) + (2 + 3Z)
=
4 + 3Z
Но:
4 + 3Z = 1 + 3Z
поэтому:
(2 + 3Z) + (2 + 3Z)
=
1 + 3Z
Identity и inverses
Identity element factor group:
0 + 3Z = 3Z
Inverse элемента:
1 + 3Z
равен:
2 + 3Z
потому что:
(1 + 3Z) + (2 + 3Z)
=
0 + 3Z
Связь с Z3
Операции в Z / 3Z работают точно так же, как addition modulo 3.
Соответствие:
0 + 3Z -> 0
1 + 3Z -> 1
2 + 3Z -> 2
Поэтому:
Z / 3Z ≅ Z3
Главная идея:
factor group
Z / 3Zобъединяет все целые числа с одинаковым остатком при делении на3в один элемент.
Теорема: Factor Groups
Если:
N ◁ G
то множество:
G / N = {aN | a ∈ G}
является группой относительно операции:
(aN)(bN) = abN
Group properties в G/N
Identity
Identity element quotient group — это сама подгруппа N:
N = eN
Почему?
(aN)(N) = (aN)(eN) = aeN = aN
То есть:
identity of G/N = N
Inverse
Inverse элемента:
aN
равен:
a^-1N
Потому что:
(aN)(a^-1N)
=
aa^-1N
=
eN
=
N
Associativity
Associativity наследуется от исходной группы:
((aN)(bN))(cN)
=
(ab)cN
и:
(aN)((bN)(cN))
=
a(bc)N
Так как в G:
(ab)c = a(bc)
результаты совпадают.
Когда два cosets считаются одним элементом
Для normal subgroup N:
aN = bN
тогда и только тогда, когда:
a^-1b ∈ N
В additive notation:
a + N = b + N
тогда и только тогда, когда:
b - a ∈ N
То есть два элемента G становятся одним элементом quotient group, если они отличаются на элемент из N.
Пример: Z / 4Z
Рассмотрим additive group всех целых чисел Z и её подгруппу:
4Z = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...}
Это множество всех чисел, кратных 4.
Так как Z Abelian:
4Z ◁ Z
Теперь построим:
Z / 4Z
Cosets подгруппы 4Z
Первый coset:
0 + 4Z
=
{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...}
Это все числа с остатком 0 при делении на 4.
Далее:
1 + 4Z
=
{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...}
Это все числа с остатком 1.
2 + 4Z
=
{..., -6, -2, 2, 6, 10, ...}
Это все числа с остатком 2.
3 + 4Z
=
{..., -5, -1, 3, 7, 11, ...}
Это все числа с остатком 3.
Других cosets нет.
Например:
5 + 4Z = 1 + 4Z
потому что:
5 - 1 = 4 ∈ 4Z
Элементы quotient group
Получаем:
Z / 4Z
=
{
0 + 4Z,
1 + 4Z,
2 + 4Z,
3 + 4Z
}
Операция:
(a + 4Z) + (b + 4Z)
=
(a + b) + 4Z
Например:
(2 + 4Z) + (3 + 4Z)
=
5 + 4Z
Но:
5 + 4Z = 1 + 4Z
Поэтому:
(2 + 4Z) + (3 + 4Z)
=
1 + 4Z
Это ровно addition modulo 4.
Следовательно:
Z / 4Z ≅ Z4
Общий результат для Z
Для любого positive integer n:
nZ = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...}
Тогда:
Z / nZ ≅ Z_n
То есть modular arithmetic можно понимать как factor group целых чисел по подгруппе кратных n.
Запись:
a ≡ b (mod n)
означает именно:
a + nZ = b + nZ
потому что:
a - b ∈ nZ
Пример: Z18 / <6>
Рассмотрим:
G = Z18
и подгруппу:
N = <6> = {0, 6, 12}
Так как Z18 Abelian:
N ◁ Z18
Порядки:
|Z18| = 18
|N| = 3
Поэтому quotient group имеет:
|Z18 / N| = 18 / 3 = 6
элементов.
Находим cosets
0 + N = {0, 6, 12}
1 + N = {1, 7, 13}
2 + N = {2, 8, 14}
3 + N = {3, 9, 15}
4 + N = {4, 10, 16}
5 + N = {5, 11, 17}
Поэтому:
Z18 / N
=
{
0 + N,
1 + N,
2 + N,
3 + N,
4 + N,
5 + N
}
Как складываются cosets
Возьмём:
(5 + N) + (4 + N)
Складываем representatives:
5 + 4 = 9
Значит:
(5 + N) + (4 + N)
=
9 + N
Но:
9 + N = {9, 15, 3}
Это тот же coset, что:
3 + N = {3, 9, 15}
Поэтому:
(5 + N) + (4 + N)
=
3 + N
По структуре эта quotient group работает как Z6. Следовательно:
Z18 / <6> ≅ Z6
Пример: U(32) / U_16(32)
Рассмотрим multiplicative group U(32). Она состоит из всех чисел от 1 до 31, взаимно простых с 32.
Так как 32 — степень двойки, это все нечётные остатки:
U(32) =
{
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,
17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
}
Операция — multiplication modulo 32.
Специальная подгруппа U_16(32)
По определению:
U_16(32) = {x ∈ U(32) | x ≡ 1 (mod 16)}
То есть нам нужны элементы U(32), которые дают остаток 1 при делении на 16.
Таких элементов два:
1 ≡ 1 (mod 16)
17 ≡ 1 (mod 16)
Поэтому:
H = U_16(32) = {1, 17}
Это действительно подгруппа, потому что:
17 · 17 = 289 ≡ 1 (mod 32)
То есть:
17^-1 = 17
Группа U(32) Abelian, поэтому любая её подгруппа normal:
H ◁ U(32)
Следовательно, можно построить factor group:
U(32) / H
Находим cosets
Первый coset — сама подгруппа:
H = {1, 17}
Теперь:
3H = {3 · 1, 3 · 17}
Так как:
3 · 17 = 51 ≡ 19 (mod 32)
получаем:
3H = {3, 19}
Аналогично:
5H = {5, 21}
7H = {7, 23}
9H = {9, 25}
11H = {11, 27}
13H = {13, 29}
15H = {15, 31}
Итого:
U(32) / H =
{
H,
3H,
5H,
7H,
9H,
11H,
13H,
15H
}
Всего получилось:
16 / 2 = 8
cosets (то есть порядок группы поделенный на порядок подгруппы).
Почему элементы склеились именно так
Каждый coset имеет вид:
xH = {x, 17x mod 32}
Так как x нечётное:
17x = x + 16x ≡ x + 16 (mod 32)
Поэтому:
xH = {x, x + 16}
Например:
3H = {3, 19}
А числа 3 и 19 имеют одинаковый остаток modulo 16:
3 ≡ 19 (mod 16)
То же самое происходит в каждом coset:
5 ≡ 21 (mod 16)
7 ≡ 23 (mod 16)
9 ≡ 25 (mod 16)
Factor group склеивает элементы U(32), которые выглядят одинаково modulo 16.
Как работает операция
Возьмём:
3H
и:
5H
По определению:
(3H)(5H) = 15H
потому что:
3 · 5 = 15
Ещё пример:
(7H)(11H) = 77H
Считаем modulo 32:
77 ≡ 13 (mod 32)
Поэтому:
(7H)(11H) = 13H
Связь с U(16)
Группа:
U(16) = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
состоит из обратимых элементов modulo 16.
В quotient group:
U(32) / H
где:
H = U_16(32) = {1, 17}
каждый coset содержит два элемента, имеющих одинаковый остаток modulo 16:
H = {1, 17}
3H = {3, 19}
5H = {5, 21}
7H = {7, 23}
9H = {9, 25}
11H = {11, 27}
13H = {13, 29}
15H = {15, 31}
Например:
3 ≡ 19 (mod 16)
и:
11 ≡ 27 (mod 16)
Поэтому можно определить mapping:
Φ : U(32) / H -> U(16)
по правилу:
Φ(xH) = x mod 16
То есть каждому coset сопоставляем общий остаток его элементов modulo 16:
H -> 1
3H -> 3
5H -> 5
7H -> 7
9H -> 9
11H -> 11
13H -> 13
15H -> 15
Почему mapping корректно задан
Один coset можно записать через любого его элемента. Например:
3H = 19H
Поэтому нужно убедиться, что выбор representative не влияет на результат.
Но:
3 ≡ 19 (mod 16)
Следовательно:
Φ(3H) = 3
и:
Φ(19H) = 3
дают один и тот же элемент U(16). Это верно для каждого coset, потому что его два элемента отличаются на 16.
One-to-one и onto
Разные cosets имеют разные остатки modulo 16, поэтому они не склеиваются.
Значит mapping one-to-one.
Кроме того, каждый элемент:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
из U(16) соответствует одному coset.
Значит mapping onto.
Сохранение операции
Операция в quotient group — multiplication of cosets:
(xH)(yH) = xyH
А в U(16) — multiplication modulo 16.
Например:
(7H)(11H) = 77H
В U(32):
77 ≡ 13 (mod 32)
поэтому:
(7H)(11H) = 13H
Применяем mapping:
Φ(13H) = 13
Теперь посчитаем напрямую в U(16):
7 · 11 = 77 ≡ 13 (mod 16)
Получили тот же результат.
То есть:
Φ((7H)(11H)) = Φ(7H)Φ(11H)
Операция сохраняется.
Следовательно:
U(32) / U_16(32) ≅ U(16)
А так как:
U(16) ≅ Z4 ⊕ Z2
получаем:
U(32) / U_16(32) ≅ Z4 ⊕ Z2
Главная идея:
quotient group склеивает два элемента
U(32), которые имеют одинаковый остаток modulo16, поэтому после склеивания остаётся именно структураU(16).
Главная мысль
Подгруппа:
U_16(32) = {1, 17}
содержит элементы, которые выглядят как identity modulo 16.
При переходе к factor group эти элементы становятся identity, а числа, отличающиеся на 16, склеиваются:
1 ~ 17
3 ~ 19
5 ~ 21
...
15 ~ 31
В результате арифметика modulo 32 сжимается до арифметики units modulo 16:
U(32) / U_16(32) ≅ U(16)
Размер coset и порядок coset — разные вещи
Здесь легко запутаться, потому что запись:
|a + N|
может использоваться в двух смыслах.
Размер coset как множества
В предыдущем примере:
3 + N = {3, 9, 15}
Поэтому coset содержит 3 элемента. То есть его размер как множества:
|3 + N| = 3
Порядок coset как элемента quotient group
Но теперь рассмотрим:
3 + N
как один элемент группы:
Z18 / N
Складываем его с самим собой:
(3 + N) + (3 + N)
=
6 + N
Но:
6 ∈ N
поэтому:
6 + N = N = 0 + N
Значит элемент:
3 + N
возвращается в identity после двух сложений.
Его порядок в quotient group равен 2.
Итак:
3 + N
имеет:
- размер
3как множество; - порядок
2как элемент quotient group.
Смысл всегда определяется контекстом.
Как находить порядок элемента aN
В multiplicative notation порядок coset aN — это наименьшее positive integer k, для которого:
a^k ∈ N
Потому что:
(aN)^k = a^kN
А identity quotient group — это N. Следовательно:
a^kN = N
ровно тогда, когда:
a^k ∈ N
В additive notation
Порядок:
a + N
— это наименьшее positive integer k, для которого:
ka ∈ N
В примере выше:
a = 3
и:
2 · 3 = 6 ∈ N
Поэтому:
|3 + N| = 2
как элемента quotient group.
Non-Abelian пример: D4 / K
Рассмотрим группу симметрий квадрата D4. В ней есть восемь элементов:
R0, R90, R180, R270,
H_ref, V_ref, D, D'
Чтобы не путать horizontal reflection с названием подгруппы, обозначим подгруппу буквой K:
K = {R0, R180}
Эта подгруппа normal in D4.
Построим quotient group:
D4 / K
Cosets
Первый coset:
K = {R0, R180}
Далее:
R90K = {R90, R270}
H_refK = {H_ref, V_ref}
DK = {D, D'}
Поэтому:
D4 / K
=
{
K,
R90K,
H_refK,
DK
}
Вместо восьми отдельных симметрий теперь осталось четыре блока.
Пример операции
Возьмём:
(R90K)(R90K)
По определению:
(R90K)(R90K)
=
R180K
Но:
R180 ∈ K
поэтому:
R180K = K
Следовательно:
(R90K)^2 = K
То есть coset R90K имеет порядок 2.
Аналогично:
(H_refK)^2 = K
и:
(DK)^2 = K
Все три non-identity elements имеют порядок 2.
Поэтому:
D4 / K ≅ Z2 ⊕ Z2
Quotient group как сжатая версия исходной группы
При переходе:
G → G/N
все элементы одного coset сжимаются в один элемент.
Например, в D4 / K: R0 и R180 становятся одним элементом K.
R90 и R270 становятся одним элементом:
R90K
Factor group “забывает” различия между элементами, которые отличаются на элемент из N.
Что значит “сделать N identity”
В quotient group сама подгруппа N становится identity element.
Все элементы N оказываются внутри identity coset:
N = eN
Поэтому можно сказать:
при переходе к
G/Nмы объявляем все элементыNэквивалентными identity.
Например, в:
Z / 4Z
все числа, кратные 4, становятся нулём:
... = -8 + 4Z = -4 + 4Z = 0 + 4Z = 4 + 4Z = 8 + 4Z = ...
А в:
Z18 / {0,6,12}
элементы:
0, 6, 12
становятся одним identity element N.
“Killing” a subgroup
Иногда говорят, что при создании quotient group мы:
kill N
то есть “убиваем подгруппу N”.
Это не означает, что её просто удаляют. На самом деле все её элементы отождествляются с identity.
n ∈ N
становится:
nN = N
для любого n ∈ N.
А элементы, отличающиеся на элемент из N, становятся одинаковыми:
aN = anN
Зачем нужны factor groups
Factor group позволяет намеренно забыть часть структуры группы. Мы выбираем normal subgroup N, объявляем её элементы identity и смотрим, какая структура останется.
Это полезно, когда:
- исходная группа слишком большая;
- нас не интересуют различия внутри cosets;
- нужно изучить структуру группы по слоям;
- нужно понять kernel of a homomorphism;
- нужно применить First Isomorphism Theorem.
Дальше окажется, что kernels homomorphisms всегда являются normal subgroups, а quotient groups естественно описывают результат homomorphism.
Главная мысль
Factor group:
G / N
состоит не из элементов исходной группы, а из cosets:
aN
Операция задаётся так:
(aN)(bN) = abN
Normality гарантирует, что результат не зависит от выбора representatives.
При переходе к quotient group:
- все элементы
Nстановятся identity; - элементы одного coset становятся одним элементом;
- группа
Gсжимается до более простой структуры.
Factor group — это группа, полученная после того, как все элементы normal subgroup объявлены identity, а элементы каждого coset склеены в один новый элемент.
Internal Direct Products: как разложить группу на внутренние компоненты
Ранее мы рассматривали external direct product / внешнее прямое произведение:
H ⊕ K
Мы брали две группы H и K и строили из них новую группу, элементы которой имеют вид:
(h, k)
Операция выполняется componentwise:
(h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1k2)
Это способ двигаться от меньших групп к большей:
H и K
↓
H ⊕ K
Теперь мы хотим обратить процесс.
Пусть большая группа G уже существует. Можно ли найти внутри неё подгруппы H и K, которые работают как независимые компоненты G?
Если можно, то G называется internal direct product / внутренним прямым произведением этих подгрупп.
External и internal direct product
External direct product
При external direct product группы H и K изначально могут вообще не иметь отношения друг к другу.
Мы создаём новое множество:
H ⊕ K = {(h, k) | h ∈ H, k ∈ K}
Его элементы — ordered pairs:
(h, k)
Internal direct product
При internal direct product мы начинаем с уже существующей группы G и ищем внутри неё две подгруппы:
H ≤ G
K ≤ G
такие, что каждый элемент G можно однозначно собрать из элемента H и элемента K.
Здесь мы не создаём ordered pairs как новые объекты. Мы используем обычную операцию самой группы G:
hk
где:
h ∈ H
k ∈ K
Главная идея:
external direct product собирает новую группу из отдельных групп, а internal direct product разбирает уже существующую группу на подгруппы-компоненты.
Определение internal direct product
Группа G является internal direct product подгрупп H и K, если выполняются три условия.
Первое:
H ◁ G
K ◁ G
Второе:
G = HK
Третье:
H ∩ K = {e}
В используемой здесь notation можно написать:
G = H × K
Важно: обозначения в разных книгах отличаются. Некоторые авторы используют × и для external, и для internal direct product.
Что означают три условия
1. Обе подгруппы normal
H ◁ G
K ◁ G
Normality позволяет элементам H и K корректно взаимодействовать внутри G.
Более того, при остальных условиях она приводит к тому, что элементы двух компонентов коммутируют:
hk = kh
для любых:
h ∈ H
k ∈ K
Ниже мы увидим, откуда это берётся.
2. Подгруппы вместе покрывают всю группу
G = HK
Здесь:
HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}
Это означает, что каждый элемент:
g ∈ G
можно представить в виде:
g = hk
То есть H и K вместе действительно собирают всю группу, а не только какую-то её часть.
3. Подгруппы пересекаются только в identity
H ∩ K = {e}
Единственный элемент, принадлежащий одновременно обеим подгруппам, — identity. Это условие не позволяет компонентам дублировать друг друга.
Если бы в пересечении находились другие элементы, один и тот же элемент G мог бы иметь несколько разных разложений:
g = hk
Почему разложение g = hk единственно
Пусть один элемент g ∈ G удалось записать двумя способами:
g = h1k1
и:
g = h2k2
Тогда:
h1k1 = h2k2
Перенесём элементы:
h2^-1h1 = k2k1^-1
Левая часть лежит в H:
h2^-1h1 ∈ H
Правая часть лежит в K:
k2k1^-1 ∈ K
Но это один и тот же элемент. Значит он лежит в пересечении:
h2^-1h1 ∈ H ∩ K
Так как:
H ∩ K = {e}
получаем:
h2^-1h1 = e
и:
k2k1^-1 = e
Следовательно:
h1 = h2
k1 = k2
Поэтому каждый элемент G имеет ровно одно представление:
g = hk
Почему элементы H и K коммутируют
Возьмём:
h ∈ H
k ∈ K
Рассмотрим commutator:
hkh^-1k^-1
Так как K normal:
hkh^-1 ∈ K
а значит:
hkh^-1k^-1 ∈ K
С другой стороны, так как H normal:
kh^-1k^-1 ∈ H
и поэтому:
hkh^-1k^-1 ∈ H
Получается, commutator лежит одновременно в H и в K:
hkh^-1k^-1 ∈ H ∩ K
Но:
H ∩ K = {e}
Следовательно:
hkh^-1k^-1 = e
Отсюда:
hk = kh
То есть компоненты internal direct product не мешают друг другу: элементы H коммутируют с элементами K.
Важно:
это не означает, что сама
Hобязана быть Abelian или самаKобязана быть Abelian. Речь только о том, что элементы разных компонентов коммутируют друг с другом.
Почему internal и external direct products изоморфны
Пусть:
G = H × K
как internal direct product.
Определим mapping:
Φ : H ⊕ K -> G
по правилу:
Φ(h, k) = hk
То есть ordered pair из external direct product отправляется в произведение этих элементов внутри G.
Mapping onto
Так как:
G = HK
каждый элемент g ∈ G имеет вид:
g = hk
Поэтому каждый элемент G является образом некоторой пары:
(h, k)
Значит Φ onto.
Mapping one-to-one
Мы уже показали, что разложение:
g = hk
единственно.
Поэтому разные пары не могут перейти в один и тот же элемент.
Значит Φ one-to-one.
Операция сохраняется
Во внешнем произведении:
(h1, k1)(h2, k2)
=
(h1h2, k1k2)
Применяем Φ:
Φ(h1h2, k1k2)
=
h1h2k1k2
Но элементы H коммутируют с элементами K, поэтому:
h2k1 = k1h2
Следовательно:
h1h2k1k2
=
h1k1h2k2
А это:
Φ(h1, k1)Φ(h2, k2)
Значит операция сохраняется.
Получаем:
G ≅ H ⊕ K
Это и есть главный смысл internal direct product:
если группа внутри себя распадается на независимые normal subgroups
HиK, то по структуре она совпадает с их external direct product.
Конкретный пример: Z6
Рассмотрим additive group:
G = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Возьмём две подгруппы:
H = <3> = {0, 3}
и:
K = <2> = {0, 2, 4}
Так как Z6 Abelian, обе подгруппы normal:
H ◁ Z6
K ◁ Z6
Проверяем пересечение
H = {0, 3}
K = {0, 2, 4}
Единственный общий элемент:
H ∩ K = {0}
В additive notation identity — это 0.
Проверяем, что они собирают всю Z6
Здесь произведение подгрупп записывается как сумма:
H + K = {h + k mod 6 | h ∈ H, k ∈ K}
Возможные суммы:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
3 + 0 = 3
3 + 2 = 5
3 + 4 = 7 ≡ 1 (mod 6)
Получили:
H + K = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6
Значит Z6 является internal direct product подгрупп H и K.
Связь с external direct product
Подгруппа:
H = {0, 3}
имеет порядок 2, поэтому:
H ≅ Z2
Подгруппа:
K = {0, 2, 4}
имеет порядок 3, поэтому:
K ≅ Z3
Следовательно:
Z6 ≅ H ⊕ K ≅ Z2 ⊕ Z3
Это тот же результат, который мы раньше получили через external direct products, но теперь компоненты были найдены внутри самой Z6.
Пример с U(15)
Рассмотрим:
U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
Операция — multiplication modulo 15.
Возьмём специальные подгруппы:
H = U_3(15)
и:
K = U_5(15)
По определению:
U_3(15) = {x ∈ U(15) | x ≡ 1 (mod 3)}
Поэтому:
H = {1, 4, 7, 13}
А:
U_5(15) = {x ∈ U(15) | x ≡ 1 (mod 5)}
поэтому:
K = {1, 11}
Normality
Группа U(15) Abelian, поэтому:
H ◁ U(15)
K ◁ U(15)
Пересечение
Единственный элемент, лежащий в обеих подгруппах:
H ∩ K = {1}
Здесь identity — это 1, потому что операция multiplicative.
Произведение подгрупп
Умножение элементов H на 1 даёт:
{1, 4, 7, 13}
Умножение элементов H на 11 modulo 15 даёт:
1 · 11 ≡ 11
4 · 11 ≡ 14
7 · 11 ≡ 2
13 · 11 ≡ 8
Поэтому:
HK =
{1, 4, 7, 13, 11, 14, 2, 8}
То есть:
HK = U(15)
Следовательно, U(15) является internal direct product:
U(15) = H × K
А по структуре:
H ≅ U(5) ≅ Z4
и:
K ≅ U(3) ≅ Z2
Поэтому:
U(15) ≅ Z4 ⊕ Z2
Почему нужны все условия
Недостаточно только потребовать:
G = HK
и:
H ∩ K = {e}
Если одна из подгрупп не normal, структура может получиться не direct product.
Normality нужна, чтобы компоненты взаимодействовали независимо и элементы H коммутировали с элементами K. Без этого mapping:
(h, k) -> hk
может не сохранять операцию.
Поэтому все три условия существенны:
H ◁ G
K ◁ G
G = HK
H ∩ K = {e}
Internal direct product нескольких подгрупп
Группу можно разложить не только на два компонента.
Пусть:
H1, H2, ..., Hn
— normal subgroups группы G.
Группа G является internal direct product этих подгрупп, если:
G = H1H2...Hn
и при добавлении каждого нового компонента он пересекается с произведением предыдущих только в identity:
(H1H2...Hi) ∩ H_(i+1) = {e}
для:
i = 1, 2, ..., n - 1
Тогда:
G ≅ H1 ⊕ H2 ⊕ ... ⊕ Hn
И каждый элемент G однозначно записывается как:
g = h1h2...hn
где:
hi ∈ Hi
Группы порядка p²
Одно из важных применений internal direct products — классификация групп порядка:
p²
где p — prime number.
Любая такая группа изоморфна одной из двух групп:
Z_(p²)
или:
Z_p ⊕ Z_p
Первый вариант cyclic: в группе есть элемент порядка p².
Во втором варианте все non-identity elements имеют порядок p, и группа раскладывается на два компонента порядка p.
Следовательно:
каждая группа порядка
p²является Abelian.
Например, при:
p = 2
получаем две возможные группы порядка 4:
Z4
и:
Z2 ⊕ Z2
Аналогия с разложением чисел
External direct product похож на обычное умножение чисел:
3 · 5 = 15
Мы берём отдельные объекты и собираем из них больший.
Internal direct product похож на factorization уже существующего числа:
15 = 3 · 5
Мы начинаем с готового объекта и ищем его независимые компоненты.
Для групп:
external:
H и K -> H ⊕ K
internal:
G -> найти H и K внутри G
Главная мысль
Internal direct product показывает, что большая группа уже содержит внутри себя меньшие независимые компоненты.
Если:
H ◁ G
K ◁ G
G = HK
H ∩ K = {e}
то:
G ≅ H ⊕ K
Каждый элемент G при этом имеет единственное представление:
g = hk
где:
h ∈ H
k ∈ K
- External direct product строит группу из компонентов.
- Internal direct product обнаруживает эти компоненты внутри уже существующей группы.