Абстрактная алгебра (abstract algebra) изучает не конкретные числа или фигуры, а структуры вида:
множество + операция + свойства операции
Главный вопрос: какие свойства имеет операция?
Если разные системы имеют одинаковые свойства, их можно изучать одинаковыми методами.
Например:
- целые числа под сложением;
- симметрии квадрата;
- матрицы;
- перестановки;
- точки на elliptic curve.
Все они могут быть группами.
Бинарная операция
Пусть:
G
— множество.
Бинарная операция (binary operation) на G — это правило, которое каждой паре элементов из G сопоставляет элемент из G.
Формально:
G × G -> G
То есть:
(a, b) -> ab
где:
a ∈ G
b ∈ G
ab ∈ G
Это означает: операция не выводит нас за пределы множества.
Это свойство называется closure (замкнутость).
Примеры бинарных операций
Сложение целых чисел
(Z, +)
Если:
a, b ∈ Z
то:
a + b ∈ Z
Поэтому сложение — binary operation на Z.
Умножение целых чисел
(Z, *)
Тоже binary operation:
a * b ∈ Z
Деление целых чисел
Деление НЕ является binary operation на Z.
Потому что:
1 ∈ Z
2 ∈ Z
но:
1 / 2 = 0.5
а:
0.5 ∉ Z
То есть результат вывалился из множества.
Модульная арифметика
Очень важны операции:
addition modulo n
multiplication modulo n
на множестве:
Z_n = {0, 1, 2, ..., n-1}
Например:
3 + 4 mod 5 = 2
потому что:
7 ≡ 2 (mod 5)
И:
3 * 4 mod 5 = 2
потому что:
12 ≡ 2 (mod 5)
Такие структуры очень важны для:
- abstract algebra;
- cryptography;
- ECC;
- zk systems.
Определение группы
Пусть G — множество с бинарной операцией. Тогда G называется группой (group), если выполняются следующие свойства.
1. Ассоциативность
Для любых:
a, b, c ∈ G
выполняется:
(ab)c = a(bc)
То есть способ расстановки скобок не меняет результат.
2. Нейтральный элемент
Существует элемент:
e ∈ G
такой что:
ae = ea = a
для любого:
a ∈ G
Элемент e называется identity element (нейтральный элемент). Он ничего не меняет.
3. Обратные элементы
Для каждого элемента:
a ∈ G
существует элемент:
b ∈ G
такой что:
ab = ba = e
Тогда b называется inverse of a (обратный элемент). В общем, inverse отменяет действие элемента.
Что такое группа простыми словами
Группа — это:
множество + операция
где:
- элементы можно комбинировать;
- результат остаётся внутри множества;
- есть “ничего не делать”;
- каждое действие можно отменить;
- скобки не ломают вычисления.
Абелева группа (Abelian Group)
Если для любых элементов:
a, b ∈ G
выполняется:
ab = ba
то группа называется Abelian group (абелева группа).
То есть порядок операции не важен.
Неабелева группа (Non-Abelian Group)
Если существует хотя бы одна пара элементов:
a, b
для которой:
ab != ba
то группа называется non-Abelian.
Важная тонкость групп
Когда мы говорим о группе, нужно указывать не только множество, но и операцию.
Например:
(Z, +)
и:
(Z, *)
— это разные algebraic structures.
Одно и то же множество с разными операциями может вести себя совершенно по-разному.
Пример с квадратом
То же самое с группой симметрий квадрата. В D4 элементы группы:
R0, R90, R180, R270, H, V, D, D'
Это rotations и reflections квадрата.
Но операция группы здесь не “поворот” и не “отражение”. Операция ровно одна: “composition of motions” (сделать одно преобразование, потом другое).
Формально такую группу можно записать как:
(D4, ∘)
где ∘ — композиция преобразований.
Пример с группой (Z4, +)
Что такое Z4
Z4 = {0, 1, 2, 3}
Это integers modulo 4, то есть целые числа по модулю 4.
Здесь числа, отличающиеся на кратное 4, считаются одинаковыми:
5 ≡ 1 (mod 4)
6 ≡ 2 (mod 4)
7 ≡ 3 (mod 4)
8 ≡ 0 (mod 4)
Вообще, если записывать прямо совсем по-правильному, то следовало бы делать так:
Z4 = {[0], [1], [2], [3]}
потому что речь идёт о классах эквивалентности modulo 4, а если точнее, о конгруэнтности. Например, [2] означает все integers congruent to 2 modulo 4.
Операция
Группа записывается как:
(Z4, +)
Операция здесь — сложение + modulo 4. То есть после сложения берётся остаток по модулю 4.
Примеры:
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5 ≡ 1 (mod 4)
3 + 3 = 6 ≡ 2 (mod 4)
Почему это группа
Closure / Замкнутость
Если:
a, b ∈ Z4
то:
a + b mod 4 ∈ Z4
Результат всегда остаётся внутри:
{0, 1, 2, 3}
Associativity / Ассоциативность
Для любых:
a, b, c ∈ Z4
выполняется:
(a + b) + c = a + (b + c)
Identity Element / Нейтральный элемент
Нейтральный элемент:
0
Потому что:
a + 0 = a
Inverse Elements / Обратные элементы
У каждого элемента есть additive inverse modulo 4.
Примеры:
0 + 0 ≡ 0 (mod 4)
1 + 3 ≡ 0 (mod 4)
2 + 2 ≡ 0 (mod 4)
3 + 1 ≡ 0 (mod 4)
То есть:
0⁻¹ = 0
1⁻¹ = 3
2⁻¹ = 2
3⁻¹ = 1
Это abelian group
Группа:
(Z4, +)
является Abelian group, потому что:
a + b = b + a
В итоге
(Z4, +) — это конечная группа (finite group) из 4 элементов со сложением modulo 4.
Это один из самых базовых примеров finite algebraic structures и modular arithmetic.
Элементарные свойства групп
Из самого определения группы автоматически следуют важные algebraic properties.
То есть group axioms уже дают нам много полезных правил.
Uniqueness of the Identity
Нейтральный элемент (identity element) в группе всегда единственный.
Не может существовать двух разных identity elements.
Примеры:
D4 -> R0
(Z4, +) -> 0
Cancellation Law
В группе можно сокращать одинаковые элементы.
Если:
ba = ca
то:
b = c
И если:
ab = ac
то:
b = c
Иными словами, inverse позволяет “отменять” элементы.
Uniqueness of Inverses
У каждого элемента группы существует ровно один inverse.
Поэтому можно спокойно писать:
a^-1
а не “один из возможных inverses”.
Powers of Group Elements
Если используется multiplicative notation, то:
g^n
означает:
g g g ... g
n раз.
Также:
g^0 = e
Отрицательные степени:
g^-n = (g^-1)^n
Например:
g^-3 = (g^-1)^3
Exponent Rules
Для одного элемента работают привычные правила:
g^m g^n = g^(m+n)
(g^m)^n = g^(mn)
Но в общем случае:
(ab)^n != a^n b^n
если группа non-Abelian.
Socks-Shoes Property
Очень важное правило:
(ab)^-1 = b^-1 a^-1
Порядок меняется на обратный.
То есть грубо говоря, сначала надел носки, потом ботинки. Чтобы снять обратно — сначала ботинки, потом носки.
Multiplicative vs Additive Notation
Иногда группа записывается как multiplication:
ab
e
a^-1
a^n
А иногда как addition:
a + b
0
-a
na
Соответствия:
ab <-> a + b
e <-> 0
a^-1 <-> -a
a^n <-> na
ab^-1 <-> a - b