Введение в группы в абстрактной алгебре

May 25, 2026 #абстрактная алгебра #cs

Введение в группы (groups) часто начинают с симметрий квадрата, потому что это очень наглядный пример.

Берём обычный квадрат. Рассматриваем все его симметрии (symmetries). По нашим условным правилам квадрат можно:

поворачивать на 0, 90, 180, 270 градусов (rotations);
отражать по вертикали, горизонтали и диагоналям (reflections);
комбинировать такие движения друг с другом.

Нас интересует не сам путь движения, а итоговый эффект (net effect), то есть как квадрат выглядит после преобразования.

Например:

поворот на 90°

и:

поворот на 450°

считаются одним и тем же действием, потому что:

450° = 360° + 90°

Итоговое положение квадрата одинаковое.

Почему симметрий ровно 8

У квадрата есть 4 угла. Если следить за одним конкретным углом, после любого движения он может оказаться в одной из 4 позиций.

При этом квадрат может быть “лицом вверх” и “лицом вниз”. То есть:

4 позиции × 2 ориентации = 8 вариантов

Поэтому у квадрата ровно 8 различных симметрий, если брать наши условные операции.

Восемь элементов D4

Эти движения (симметрии) можно обозначить так:

R0
R90
R180
R270
H
V
D
D'

Где:

R0 — ничего не делать, поворот на 0°.
R90 — поворот на 90°, остальные R аналогичны.
H — reflection / отражение относительно горизонтальной оси.
V — reflection / отражение относительно вертикальной оси.
D — reflection / отражение относительно одной диагонали.
D' — reflection / отражение относительно другой диагонали.

Эти 8 движений вместе образуют диэдральную группу квадрата (dihedral group of the square): D4. Тут именно 4, потому что у квадрата 4 стороны. Подробнее про такие группы написано ниже.

Порядок группы (order of a group) — это число её элементов. У D4 порядок равен 8, потому что 2 * 4 = 8. Это, конечно, не универсальное свойство групп вообще; оно применимо именно для диэдральных групп. Иными словами, это специальная формула только для группы симметрий n-угольника.

Операция в D4

Учтите, что операция в D4 — это композиция движений (composition of motions). То есть можно сделать одно движение, потом второе, и получить итоговое движение.

Например:

H R90 = D

Это означает:

сначала поворачивай на R90
потом делай отражение по горизонтали H
итог = D, то есть фактически ты отразил по диагонали

Почему сначала R90, а потом H?

Потому что композиция функций (function composition) читается справа налево:

H R90 = H ∘ R90

Важно: rotations и reflections в D4 — это не операции, а элементы группы, то есть конкретные преобразования квадрата. Операция группы здесь ровно одна: composition of motions. То есть элементов много, операция над ними единственная.

Таблица Кэли

Таблица Кэли (Cayley table) показывает результат операции для любых двух элементов группы. Вот пример таблицы для нашего примера с квадратом:

∘	R0	R90	R180	R270	H	V	D	D'
R0	R0	R90	R180	R270	H	V	D	D'
R90	R90	R180	R270	R0	D'	D	H	V
R180	R180	R270	R0	R90	V	H	D'	D
R270	R270	R0	R90	R180	D	D'	V	H
H	H	D	V	D'	R0	R180	R90	R270
V	V	D'	H	D	R180	R0	R270	R90
D	D	V	D'	H	R270	R90	R0	R180
D'	D'	H	D	V	R90	R270	R180	R0

Если условиться, что слева будет строка a, а сверху колонка b, то клетка в этой таблице показывает:

ab

В контексте движений это значит:

сначала делаем b
потом делаем a

Например, если в таблице стоит:

H R90 = D

это значит:

R90 followed by H gives D

Замкнутость группы

Первое важное свойство группы — замкнутость (closure).

Если:

A ∈ D4
B ∈ D4

то:

AB ∈ D4

То есть композиция любых двух движений из D4 снова даёт движение из D4.

По-человечески: действия не вываливаются из системы. Это видно прямо из таблицы выше: там каждая клетка содержит одну из изначально определённых операций. То есть, сделали два движения квадрата подряд — итог всё равно одна из восьми симметрий квадрата.

Нейтральный элемент

В D4 нейтральный элемент (identity element) — это: R0. Он, скажем так, ничего не делает.

Для любого элемента A ∈ D4:

A R0 = A
R0 A = A

То есть R0 ведёт себя как “ноль движения”, квадрат никак не меняется.

Порядок элемента

Порядок элемента (order of an element) — это минимальное положительное число n, такое что элемент, скомпонованный сам с собой n раз, даёт identity element.

То есть минимальное число n, такое что:

A^n = R0

Rotations

Если мы берём наш квадрат, который крутится на 90 градусов за раз, то выходит:

R90^4 = R0

Потому что если 4 раза его последовательно повернуть, мы получим тот же самый квадрат без изменений.

Значит:

order(R90) = 4

Reflections

Все reflections имеют порядок 2.

Например:

H^2 = R0

Потому что отражение два раза возвращает квадрат обратно.

То же самое:

V^2 = R0
D^2 = R0
(D')^2 = R0

Порядок элементов в D4

order(R90) = 4
order(R180) = 2
order(H) = 2
order(V) = 2
order(D) = 2
order(D') = 2

Обратный элемент

Для каждого элемента A в группе есть обратный элемент (inverse element) B, который отменяет его действие:

AB = BA = R0

Примеры:

R90⁻¹ = R270

Потому что поворот на 90° и потом на 270° дают полный оборот 360°, то есть фактически квадрат не изменил положения.

R180⁻¹ = R180

Потому что два поворота на 180° возвращают квадрат обратно.

H⁻¹ = H

Потому что отражение два раза возвращает квадрат в исходное положение.

Аналогично:

V⁻¹ = V
D⁻¹ = D
D'⁻¹ = D'

Ассоциативность

Для группы нужно, чтобы выполнялось следующее:

(ab)c = a(bc)

для любых элементов a, b, c.

Это называется ассоциативность (associativity). В D4 это верно, потому что элементы D4 можно рассматривать как функции, а операция — это композиция функций.

Композиция функций всегда ассоциативна:

(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)

Поэтому не нужно вручную проверять все варианты: 8³ = 512.

Абелева и неабелева группа

Если в группе для любых элементов выполняется:

ab = ba

то группа называется коммутативной (commutative) или абелевой (Abelian).

Но в нашей D4 порядок действий может менять результат. Например:

HD ≠ DH

Значит D4 — это неабелева группа (non-Abelian group). Но важно то, что в такой группе некоторые элементы всё равно могут коммутировать.

Например повороты обычно коммутируют между собой:

R90 R180 = R180 R90

Но для всей группы быть Abelian означает, что ab = ba должно выполняться для всех пар элементов. Достаточно одной пары, где порядок важен, чтобы группа была non-Abelian.

Почему в таблице каждый элемент встречается в каждой строке и колонке

В таблице Кэли каждый элемент встречается ровно один раз в каждой строке и в каждой колонке, что видно на примере выше.

Можно сказать, что операции в группе обратимы, поэтому “информация” не теряется.

Если есть уравнение:

AX = B

то можно применить обратный элемент к A и найти единственный X.

Поэтому умножение слева или справа на фиксированный элемент группы просто переставляет элементы группы.

Четыре условия группы

Множество G с операцией * является группой (group), если выполняются четыре условия.

1. Замкнутость (Closure)

a, b ∈ G => a * b ∈ G

Результат операции снова находится внутри множества.

2. Ассоциативность (Associativity)

(a * b) * c = a * (b * c)

Скобки не важны.

3. Нейтральный элемент (Identity Element)

Существует элемент e ∈ G, такой что:

e * a = a
a * e = a

для любого a ∈ G.

4. Обратные элементы (Inverse Elements)

Для каждого a ∈ G есть элемент a⁻¹ ∈ G, такой что:

a * a⁻¹ = e
a⁻¹ * a = e

В случае D4

У нас есть:

G = D4

То есть имеем множество симметрий квадрата:

G = {R0, R90, R180, R270, H, V, D, D'}

Замкнутость здесь есть, это видно из таблицы выше.

Нейтральный элемент есть:

R0

Потому что для любого движения A выполняется:

A R0 = A
R0 A = A

Короче, если ничего не делать до или после движения, то результат не изменится.

Обратные элементы тоже есть:

R0⁻¹ = R0
R90⁻¹ = R270
R180⁻¹ = R180
R270⁻¹ = R90
H⁻¹ = H
V⁻¹ = V
D⁻¹ = D
D'⁻¹ = D'

Группа D4 non-Abelian, потому что порядок действий иногда важен:

HD ≠ DH

Главная идея групп

Группа (group) — это не обязательно числа. Группа может состоять из:

движений;
симметрий;
функций;
матриц;
перестановок;
точек эллиптической кривой;
классов остатков.

Главное не то, из чего сделаны элементы. Главное: есть ли операция, которая удовлетворяет group axioms.

Связь с ECC

В elliptic curve cryptography (ECC) тоже есть группа. Элементы группы — это точки на эллиптической кривой.

Операция:

P + Q

Это сложение точек.

Там тоже есть:

closure: сумма двух точек снова точка;
identity element: point at infinity;
inverse element: точка с противоположной y-координатой;
associativity;
обычно commutativity: P + Q = Q + P.

То есть группа в ECC — это тот же тип алгебраической структуры, только вместо симметрий квадрата там точки на кривой над finite field.

Диэдральные группы

То безобразие, что мы вытворяли с квадратом, можно сделать с любым правильным многоугольником:

равносторонним треугольником;
квадратом;
правильным пятиугольником;
правильным n-угольником.

Группа всех симметрий правильного n-угольника называется диэдральной группой (dihedral group) и обозначается: D_n.

Сколько элементов в D_n

У правильного n-угольника есть n поворотов (rotations)

0°
360°/n
2(360°/n)
...
(n-1)(360°/n)

А также ещё n отражений (reflections).

Поэтому всего элементов в группе: 2n. То есть:

|D_n| = 2n

Примеры:

D_3 -> 6 элементов
D_4 -> 8 элементов
D_5 -> 10 элементов
D_6 -> 12 элементов

Где встречаются диэдральные группы

Диэдральные группы часто встречаются в природе, дизайне, химии и кристаллографии. Примеры:

орнаменты;
узоры на плитке;
керамика;
архитектура;
логотипы;
морские звёзды;
молекулы;
кристаллы.

Например D_5 часто связано с пятилучевой симметрией. D_3 может возникать у объектов с трёхлучевой симметрией, например у некоторых молекул. D_4, D_6 часто встречаются в кристаллических структурах.

Симметрия плоской фигуры

Симметрия плоской фигуры (plane symmetry) — это функция из плоскости в саму себя, которая:

переводит фигуру F в саму себя;
сохраняет расстояния.

Если есть две точки:

p
q

то после применения симметрии расстояние между их образами остаётся тем же:

distance(p, q) = distance(image(p), image(q))

По-человечески: симметрия двигает или отражает фигуру так, что форма не ломается и расстояния не искажаются.

Группа симметрий

Группа симметрий (symmetry group) фигуры — это множество всех её симметрий. То есть всех преобразований, которые:

сохраняют расстояния;
переводят фигуру в саму себя.

Эти симметрии образуют группу, потому что их можно выполнять подряд через композицию функций (function composition).

Повороты

Поворот плоскости вокруг точки — это симметрия. Для правильного n-угольника повороты такие:

0°
360°/n
2(360°/n)
...
(n-1)(360°/n)

Например, для квадрата:

0°
90°
180°
270°

Переносы

Перенос (translation) — это когда все точки сдвигаются на один и тот же вектор. Переносы плоскости и пространства сохраняют расстояния, поэтому они тоже являются симметриями пространства.

Но для конечной фигуры, например квадрата, перенос обычно не является симметрией самой фигуры, если мы требуем, чтобы фигура вернулась ровно на своё место.

Отражения

Отражение относительно прямой (reflection across a line) L работает так:

все точки на линии L остаются на месте;
точка q, которая не лежит на L, переходит в точку q';
линия L является перпендикулярным серединным делителем отрезка qq'.

То есть q и q' находятся на одинаковом расстоянии от линии L, но по разные стороны от неё.

Отражения в 2D и 3D

В 2D отражение относительно прямой математически является симметрией. Но если фигура живёт строго в плоскости, то такое отражение нельзя получить обычным физическим движением внутри этой плоскости.

В 3D аналогичная идея — отражение относительно плоскости.

Например, чашка может иметь зеркальную симметрию относительно плоскости, которая делит её пополам, но такую симметрию нельзя получить обычным вращением чашки в пространстве.

Циклическая группа вращений

Некоторые фигуры имеют только вращательную симметрию (rotational symmetry), но не имеют отражательной симметрии (reflective symmetry).

Тогда рассматривают группу только из поворотов:

0°
360°/n
2(360°/n)
...
(n-1)(360°/n)

Такая группа называется циклической группой вращений порядка n (cyclic rotation group of order n).

Её можно понимать как группу, порождённую одним поворотом:

R_{360/n}

Например, если фигура совпадает сама с собой при повороте на 90°, но не имеет отражательных симметрий, её группа вращений может иметь порядок 4.

Dihedral vs Cyclic

Диэдральная группа D_n содержит:

rotations + reflections

Циклическая группа вращений содержит только:

rotations

Например для квадрата D_4 имеет 8 элементов:

4 rotations + 4 reflections

А группа только вращений квадрата имеет 4 элемента:

R0, R90, R180, R270