До сих пор мы в основном изучали groups / группы. У группы есть одна основная операция. Например:
(Z, +)
— integers под сложением.
Или:
U(n)
— обратимые элементы modulo n под умножением.
Но у многих привычных множеств естественно существуют сразу две операции:
addition
multiplication
Например:
integers
real numbers
integers modulo n
matrices
polynomials
Мы можем складывать integers и можем их умножать. То же самое можно делать с matrices и polynomials. Структура, которая учитывает обе операции одновременно, называется: ring / кольцо.
Главная идея:
Group описывает одну операцию. Ring описывает сложение, умножение и то, как они взаимодействуют друг с другом.
Определение ring
Ring R — это множество с двумя binary operations:
a + b
и:
ab
которые удовлетворяют определённым свойствам.
Для любых:
a, b, c ∈ R
должны выполняться следующие условия.
Свойства сложения
Сложение коммутативно
a + b = b + a
Сложение ассоциативно
(a + b) + c = a + (b + c)
Существует additive identity
В ring обязательно есть элемент:
0
такой, что:
a + 0 = a
для любого a ∈ R.
У каждого элемента есть additive inverse
Для каждого a ∈ R существует элемент:
-a
такой, что:
a + (-a) = 0
Эти четыре свойства означают:
(R, +)
является Abelian group.
То есть по сложению ring всегда является Abelian group.
Свойство умножения
Умножение ассоциативно
a(bc) = (ab)c
Но умножение не обязано быть commutative.
То есть в общем случае может быть:
ab != ba
Связь сложения и умножения
Выполняются distributive laws
Слева:
a(b + c) = ab + ac
И справа:
(b + c)a = ba + ca
Обе distributive laws нужны, потому что multiplication в ring может быть noncommutative.
Если бы мы заранее знали:
ab = ba
то одной distributive law было бы достаточно для получения другой.
Короткая формулировка
Ring — это множество R, для которого:
(R, +)
является Abelian group,
multiplication является associative:
a(bc) = (ab)c
и multiplication распределяется относительно addition:
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
Важная договорённость о multiplicative identity
В разных книгах определение ring немного отличается. Некоторые авторы требуют, чтобы в каждом ring обязательно существовал multiplicative identity:
1
такой, что:
1a = a1 = a
Но в нашем учебнике ring не обязано иметь multiplicative identity.
Поэтому мы будем различать:
ring
и:
ring with unity
Ring with unity — это ring, в котором существует multiplicative identity 1.
Два разных identity
В ring могут фигурировать два разных identity elements.
Additive identity
0 удовлетворяет:
a + 0 = a
Он существует в любом ring.
Multiplicative identity
1 удовлетворяет:
a · 1 = 1 · a = a
Он может не существовать.
Поэтому нельзя путать:
0
и:
1
Первый связан со сложением, второй — с умножением.
Commutative ring
Ring называется commutative ring / коммутативным кольцом, если multiplication commutative:
ab = ba
для любых:
a, b ∈ R
Например:
Z
Z_n
R
Z[x]
являются commutative rings.
Но rings of matrices обычно noncommutative, потому что для matrices может выполняться:
AB != BA
Unity и unit — не одно и то же
Термины здесь похожи, поэтому легко запутаться.
Unity
Unity / multiplicative identity — это конкретный элемент 1, для которого:
1a = a1 = a
для любого a.
Если unity существует, оно единственно.
Unit
Unit / обратимый элемент кольца — это элемент a, для которого существует multiplicative inverse:
a^-1
такой, что:
aa^-1 = a^-1a = 1
То есть:
a is a unit
если a обратим относительно multiplication.
Не каждый nonzero element ring обязан быть unit. Например, в Z элемент 2 не имеет multiplicative inverse внутри Z:
1/2 not in Z
Поэтому 2 не является unit в Z.
Пример: ring Z
Рассмотрим:
Z
с обычными addition и multiplication.
По сложению:
(Z, +)
является Abelian group.
Умножение associative и commutative:
a(bc) = (ab)c
ab = ba
Также выполняется distributivity:
a(b + c) = ab + ac
В Z есть multiplicative identity:
1
Следовательно, Z — commutative ring with unity.
Units в Z
Ищем integers, имеющие multiplicative inverse также в Z.
Для 1:
1 · 1 = 1
Поэтому 1 — unit.
Для -1:
(-1)(-1) = 1
Поэтому -1 — unit.
Других units нет.
Например, для 2 потребовался бы элемент:
1/2
но:
1/2 not in Z
Следовательно:
units of Z = {1, -1}
Пример: ring Z_n
Рассмотрим:
Z_n = {0, 1, 2, ..., n - 1}
Теперь мы используем на этом множестве сразу две операции:
addition modulo n
и:
multiplication modulo n
Это commutative ring with unity 1.
Например:
Z_6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
В нём:
4 + 5 = 9 ≡ 3 (mod 6)
и:
4 · 5 = 20 ≡ 2 (mod 6)
Units в Z_n
Units ring Z_n — это элементы, имеющие multiplicative inverse modulo n.
Именно они образуют знакомую нам группу:
U(n)
То есть:
units of Z_n = U(n)
Например:
U(10) = {1, 3, 7, 9}
Проверим элемент 3:
3 · 7 = 21 ≡ 1 (mod 10)
Поэтому:
3^-1 = 7 mod 10
Значит 3 является unit в ring Z_10.
А элемент 2 не является unit, потому что не существует x, для которого:
2x ≡ 1 (mod 10)
Не путать Z_n и U(n)
Z_n
— это ring со всеми residues:
0, 1, ..., n - 1
и двумя операциями:
addition modulo n
multiplication modulo n
А:
U(n)
— это только обратимые элементы Z_n под multiplication.
Например:
Z_10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
но:
U(10) = {1, 3, 7, 9}
Z_10— ring.U(10)— multiplicative group of units этого ring.
Что такое polynomial
Polynomial / многочлен — это выражение вида:
a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n
где:
a0, a1, ..., an
— coefficients / коэффициенты, а x — formal variable / формальная переменная.
Например:
3x^2 - 5x + 7
Здесь 3 — coefficient при x^2; -5 — coefficient при x; 7 — constant term / свободный член.
Можно также мысленно записать:
3x^2 - 5x + 7
=
7 + (-5)x + 3x^2
Что значит formal variable
В polynomial expression символ x не обязан прямо сейчас означать какое-то конкретное число. Это просто формальный символ, с которым мы работаем по обычным algebraic rules.
Например:
f(x) = 3x^2 - 5x + 7
— это сам polynomial.
А уже отдельно можно подставить конкретное значение:
f(2)
=
3 · 2^2 - 5 · 2 + 7
=
12 - 10 + 7
=
9
Но polynomial:
3x^2 - 5x + 7
и его значение при x = 2:
9
— не одно и то же.
Первое — algebraic object, второе — результат evaluation / подстановки.
Какие выражения являются polynomials
Вот polynomials:
3x^2 - 5x + 7
x^4 + 2
-8x
4
0
Constant number тоже считается polynomial.
Например 4 можно понимать как:
4x^0
потому что:
x^0 = 1
А expression:
-8x
можно записать как:
0 + (-8)x
Какие выражения не являются обычными polynomials
Например:
1 / x
не является polynomial, потому что это:
x^-1
а в обычном polynomial powers переменной должны быть nonnegative integers:
0, 1, 2, 3, ...
Также не являются polynomials:
sqrt(x)
x^(1/2)
2^x
sin(x)
Это другие виды functions или algebraic expressions.
Degree polynomial
Degree / степень многочлена — это наибольшая power x, перед которой стоит nonzero coefficient.
Например:
f(x) = 3x^4 - 2x + 1
имеет degree:
deg f = 4
Polynomial:
7x^2 + 100
имеет degree:
2
Constant nonzero polynomial:
5
имеет degree:
0
Для zero polynomial:
0
degree обычно либо не определяют, либо условно считают равной -∞.
Для нашего введения это пока не особо важно.
Как складывать polynomials
Polynomials складываются по одинаковым powers x.
Возьмём:
f(x) = 3x^2 + 2x + 1
и:
g(x) = x^2 - 5x + 4
Тогда:
f(x) + g(x)
=
(3x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 5x + 4)
Собираем одинаковые powers:
(3 + 1)x^2 + (2 - 5)x + (1 + 4)
Получаем:
f(x) + g(x)
=
4x^2 - 3x + 5
То есть coefficients складываются независимо:
x^2 terms
x terms
constant terms
Более короткий пример
(x + 1) + (x^2 - 3)
Собираем terms:
x^2 + x + 1 - 3
Получаем:
x^2 + x - 2
Как вычитать polynomials
Вычитание работает так же: вычитаем соответствующие coefficients.
Пусть:
f(x) = 3x^2 + 2x + 1
g(x) = x^2 - 5x + 4
Тогда:
f(x) - g(x)
=
(3x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 5x + 4)
Раскрываем minus:
3x^2 + 2x + 1 - x^2 + 5x - 4
Получаем:
2x^2 + 7x - 3
Как умножать polynomials
При multiplication каждый term первого polynomial умножается на каждый term второго.
Используется distributive law:
a(b + c) = ab + ac
Например:
(x + 1)(x - 1)
Умножаем каждый term:
x · x + x · (-1) + 1 · x + 1 · (-1)
Получаем:
x^2 - x + x - 1
Средние terms сокращаются:
-x + x = 0
Поэтому:
(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1
Ещё один пример multiplication
(2x + 3)(x^2 - x + 4)
Сначала умножаем 2x на каждый term:
2x · x^2 = 2x^3
2x · (-x) = -2x^2
2x · 4 = 8x
Теперь 3 на каждый term:
3 · x^2 = 3x^2
3 · (-x) = -3x
3 · 4 = 12
Собираем всё:
2x^3 - 2x^2 + 8x + 3x^2 - 3x + 12
Объединяем одинаковые powers:
2x^3 + x^2 + 5x + 12
Почему powers складываются
При multiplication:
x^m · x^n = x^(m+n)
Например:
x^2 · x^3 = x^5
Потому что:
x^2 · x^3
=
(x · x)(x · x · x)
=
x · x · x · x · x
=
x^5
Что означает Z[x]
Теперь можно ввести notation:
Z[x]
Она означает:
множество всех polynomials in variable
xс integer coefficients.
Формально:
Z[x]
=
{
a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n
|
ai ∈ Z
}
То есть каждый coefficient обязан быть integer:
..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Например, в Z[x] лежат:
3x^2 - 5x + 7
x^4 + 2
-8x
4
0
Что не лежит в Z[x]
Polynomial:
(1/2)x + 3
не принадлежит Z[x], потому что coefficient:
1/2
не является integer.
Но он принадлежит:
Q[x]
— ring polynomials с rational coefficients.
А polynomial:
sqrt(2)x^2 + π
не лежит в Z[x] или Q[x], но лежит в:
R[x]
потому что его coefficients являются real numbers.
Почему Z[x] является ring
На множестве:
Z[x]
заданы две операции:
polynomial addition
и:
polynomial multiplication
Нужно понять, почему результат снова остаётся в Z[x].
Closure under addition
Если coefficients двух polynomials являются integers, то после сложения coefficients снова получаются integers.
Например:
(3x^2 - 5x + 7) + (2x^2 + x - 4)
даёт:
5x^2 - 4x + 3
Все coefficients:
5, -4, 3
остаются integers.
Additive identity
Zero polynomial:
0
является additive identity:
f(x) + 0 = f(x)
для любого:
f(x) ∈ Z[x]
Additive inverse
Для каждого polynomial:
f(x)
существует:
-f(x)
Например, для:
f(x) = 3x^2 - 5x + 7
additive inverse равен:
-f(x) = -3x^2 + 5x - 7
И:
f(x) + (-f(x)) = 0
Closure under multiplication
При multiplication integer coefficients складываются и перемножаются.
А сумма и произведение integers снова являются integers.
Например:
(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1
Результат снова принадлежит:
Z[x]
Multiplication associative и commutative
Для polynomials:
f(x)(g(x)h(x))
=
(f(x)g(x))h(x)
И:
f(x)g(x) = g(x)f(x)
Следовательно, multiplication associative и commutative.
Distributive law
Для любых polynomials:
f(x)(g(x) + h(x))
=
f(x)g(x) + f(x)h(x)
Это обычное раскрытие скобок.
Unity в Z[x]
Multiplicative identity — это constant polynomial:
1
Почему именно он?
Потому что для любого polynomial:
f(x)
выполняется:
1 · f(x) = f(x)
и:
f(x) · 1 = f(x)
Следовательно:
Z[x]
является:
commutative ring with unity
Не путать polynomial и polynomial function
Polynomial:
f(x) = x^2 + 1
можно использовать как function:
f : Z -> Z
или:
f : R -> R
Но сам элемент Z[x] — это прежде всего formal expression:
x^2 + 1
Например, один и тот же polynomial можно вычислять на разных множествах:
f(2) = 5
f(-3) = 10
Но от этого сам polynomial не меняется. Это distinction станет особенно важным позже, когда появятся polynomials modulo n, quotient rings и finite fields.
Пример ring без unity
Рассмотрим множество всех continuous functions:
f : R -> R
для которых:
f(1) = 0
Обозначим это множество через:
S = {f : R -> R | f continuous и f(1) = 0}
То есть в S лежат continuous real-valued functions, графики которых проходят через точку:
(1, 0)
Например, в S лежат функции:
f(x) = x - 1
и:
g(x) = (x - 1)^2
потому что:
f(1) = 1 - 1 = 0
и:
g(1) = (1 - 1)^2 = 0
Что такое continuous function
Грубо говоря, continuous function / непрерывная функция — это функция, график которой не имеет внезапных разрывов, скачков и дыр.
Её можно представить как линию, которую возле каждой точки можно рисовать, не отрывая карандаш от бумаги.
Например:
f(x) = x - 1
является continuous function.
Её график — обычная прямая.
Функция:
g(x) = x^2
тоже continuous.
А вот функция:
h(x) = 0, если x < 0
h(x) = 1, если x >= 0
не continuous в точке 0, потому что там значение резко прыгает с 0 на 1.
Для нашего примера важно следующее свойство:
Сумма и произведение continuous functions снова являются continuous functions.
То есть если f и g continuous, то функции:
f + g
и:
fg
тоже continuous.
Что значит pointwise operation
Functions здесь складываются и умножаются pointwise / поточечно.
Это означает, что мы берём конкретное значение x и выполняем операцию над значениями функций в этой точке.
Addition определяется так:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Например, если:
f(x) = x - 1
и:
g(x) = (x - 1)^2
то:
(f + g)(x)
=
(x - 1) + (x - 1)^2
Multiplication определяется так:
(fg)(x) = f(x)g(x)
В нашем примере:
(fg)(x)
=
(x - 1)(x - 1)^2
=
(x - 1)^3
Проверяем closure under addition
Пусть:
f ∈ S
и:
g ∈ S
Это означает:
f(1) = 0
и:
g(1) = 0
Тогда:
(f + g)(1)
=
f(1) + g(1)
=
0 + 0
=
0
Кроме того, сумма continuous functions снова continuous.
Значит:
f + g ∈ S
Проверяем additive inverse
Если:
f(1) = 0
то для функции:
-f
получаем:
(-f)(1)
=
-f(1)
=
-0
=
0
Функция -f также continuous.
Следовательно:
-f ∈ S
Additive identity — это zero function:
0(x) = 0
Она continuous и удовлетворяет:
0(1) = 0
Поэтому по addition множество S образует Abelian group.
Проверяем closure under multiplication
Пусть снова:
f(1) = 0
и:
g(1) = 0
Тогда:
(fg)(1)
=
f(1)g(1)
=
0 · 0
=
0
Произведение continuous functions также continuous.
Значит:
fg ∈ S
Multiplication functions commutative, потому что для каждого x:
f(x)g(x) = g(x)f(x)
Следовательно:
fg = gf
Таким образом, S является commutative ring.
Почему у этого ring нет unity
В большом ring всех continuous functions multiplicative identity — это constant function:
1(x) = 1
потому что для любой функции f:
1(x)f(x) = f(x)
Но constant function 1 не принадлежит нашему множеству:
1(1) = 1
а нам требуется:
f(1) = 0
Однако надо проверить, не может ли существовать какая-нибудь другая функция, играющая роль unity только внутри S.
Предположим, что такая функция существует:
u ∈ S
и для любой:
f ∈ S
выполняется:
uf = f
Возьмём конкретную функцию:
f(x) = x - 1
Она принадлежит S, потому что:
f(1) = 0
Условие:
uf = f
означает:
u(x)(x - 1) = x - 1
Для любого:
x != 1
можно сократить на x - 1 и получить:
u(x) = 1
Значит возможная unity должна удовлетворять:
u(x) = 1
для всех x != 1.
Но поскольку:
u ∈ S
обязательно:
u(1) = 0
Получилась бы функция:
u(x) = 1, если x != 1
u(x) = 0, если x = 1
У неё есть резкий провал в точке 1, поэтому она не continuous.
Следовательно, такой функции u в S не существует.
Поэтому:
S
является commutative ring without unity.
Главная мысль
Функции из S обязаны обращаться в 0 при x = 1.
Addition и multiplication не нарушают это условие:
0 + 0 = 0
0 · 0 = 0
Но multiplicative identity должна быть равна 1 почти везде, чтобы не менять другие функции.
Совместить это с условием:
u(1) = 0
и при этом сохранить continuity невозможно.
Direct product rings
Пусть:
R1, R2, ..., Rn
— rings.
Можно построить новое ring из tuples:
R1 ⊕ R2 ⊕ ... ⊕ Rn
Его элементы имеют вид:
(a1, a2, ..., an)
где:
ai ∈ Ri
Операции выполняются componentwise.
Addition:
(a1, ..., an) + (b1, ..., bn)
=
(a1 + b1, ..., an + bn)
Multiplication:
(a1, ..., an)(b1, ..., bn)
=
(a1b1, ..., anbn)
Конкретный пример
Рассмотрим:
Z2 ⊕ Z3
Возьмём элементы:
(1, 2)
и:
(1, 1)
Сложение:
(1, 2) + (1, 1)
=
(1 + 1 mod 2, 2 + 1 mod 3)
=
(0, 0)
Multiplication:
(1, 2)(1, 1)
=
(1 · 1 mod 2, 2 · 1 mod 3)
=
(1, 2)
Это ring с componentwise operations.
Divisibility в ring
Пусть R — commutative ring, а:
a, b ∈ R
Говорят, что a divides b, если существует:
c ∈ R
такой, что:
b = ac
Обозначение:
a | b
Если такого c нет:
a ∤ b
Пример в Z
3 | 12
потому что:
12 = 3 · 4
Но:
5 ∤ 12
потому что не существует integer c, для которого:
12 = 5c
Пример в Z_12
В ring Z_12:
4 | 8
потому что:
4 · 2 ≡ 8 (mod 12)
Также:
4 | 0
потому что:
4 · 0 = 0
Вообще любой элемент ring делит 0.
Что означает n · a
В additive groups notation:
na
означает repeated addition:
a + a + ... + a
где a встречается n раз.
В ring это может вызвать путаницу, потому что рядом существует ещё и multiplication внутри ring.
Поэтому иногда пишут:
n · a
чтобы подчеркнуть:
это
nраз сложитьaс самим собой, а не обязательно отдельная ring operation с элементомn`.
Например:
3 · a = a + a + a
Основные свойства multiplication
Теперь выведем несколько знакомых правил, которые в обычной арифметике кажутся очевидными.
В abstract ring их нужно получить из axioms.
Умножение на zero
Для любого a ∈ R:
a0 = 0
и:
0a = 0
Почему a0 = 0
Так как:
0 + 0 = 0
получаем:
a0 = a(0 + 0)
По distributivity:
a(0 + 0) = a0 + a0
Следовательно:
a0 = a0 + a0
Добавим additive inverse -a0 к обеим сторонам:
0 = a0
Значит:
a0 = 0
Аналогично доказывается:
0a = 0
Умножение на negative element
Для любых a, b ∈ R:
a(-b) = -(ab)
и:
(-a)b = -(ab)
Например:
a(-b) + ab
=
a((-b) + b)
=
a0
=
0
Значит a(-b) является additive inverse элемента ab:
a(-b) = -(ab)
Minus на minus
(-a)(-b) = ab
Потому что:
(-a)(-b)
=
-((-a)b)
Но:
(-a)b = -(ab)
Следовательно:
-(-(ab)) = ab
Distributivity over subtraction
Subtraction определяется как:
b - c = b + (-c)
Поэтому:
a(b - c)
=
a(b + (-c))
=
ab + a(-c)
=
ab - ac
То есть:
a(b - c) = ab - ac
Аналогично:
(b - c)a = ba - ca
Что происходит с -1
Следующие свойства имеют смысл только в ring with unity.
Для любого a:
(-1)a = -a
Потому что:
(-1)a + a
=
(-1)a + 1a
=
((-1) + 1)a
=
0a
=
0
Значит (-1)a является additive inverse элемента a.
Также:
(-1)(-1) = 1
Это знакомое правило:
minus times minus equals plus
Но теперь оно не предполагается заранее, а выводится из ring axioms.
Unity и inverses единственны
Если ring имеет multiplicative identity, оно unique.
Допустим, существуют два identity elements:
1
и:
1'
Тогда:
1 = 1 · 1'
потому что 1' — identity.
Но также:
1 · 1' = 1'
потому что 1 — identity.
Следовательно:
1 = 1'
Multiplicative inverse также unique
Пусть b и c — inverses элемента a.
То есть:
ab = ba = 1
и:
ac = ca = 1
Тогда:
b
=
b1
=
b(ac)
=
(ba)c
=
1c
=
c
Следовательно, inverse unique.
Поэтому запись:
a^-1
не ambiguous.
Ring — не группа под умножением
Это одна из самых важных вещей.
Ring обязательно является Abelian group под addition:
(R, +)
Но множество всех элементов ring обычно не является group под multiplication.
Причин может быть несколько:
- multiplicative identity может отсутствовать;
- многие элементы могут не иметь multiplicative inverses;
- multiplication может быть noncommutative;
- cancellation может не работать.
Почему нельзя автоматически сокращать
В обычных real numbers из:
ab = ac
и:
a != 0
можно заключить:
b = c
Но в произвольном ring это неверно.
Конкретный пример в Z_6
В Z_6:
2 · 1 = 2
и:
2 · 4 = 8 ≡ 2 (mod 6)
Поэтому:
2 · 1 = 2 · 4
Но:
1 != 4
Мы не можем сократить множитель 2. Причина в том, что 2 не является unit в Z_6. У него нет multiplicative inverse modulo 6.
Из a² = a не следует a = 0 или a = 1
В real numbers:
a² = a
можно переписать как:
a(a - 1) = 0
и получить:
a = 0
или:
a = 1
Но в произвольном ring это может быть неверно.
Пример в Z_6
Возьмём:
a = 3
Тогда:
3² = 9 ≡ 3 (mod 6)
Получается:
a² = a
но:
a != 0
и:
a != 1
Элемент, для которого:
a² = a
называется idempotent / идемпотентом. В general ring могут существовать nontrivial idempotents.
Что важно запомнить
Ring имеет две operations:
addition
multiplication
По addition ring всегда является Abelian group.
Multiplication обязано быть associative и distributive относительно addition.
Но multiplication:
- не обязано быть commutative;
- может не иметь identity;
- может не иметь inverses для большинства элементов;
- может не поддерживать cancellation.
Главная мысль
Ring — это Abelian group под сложением, к которой добавили associative multiplication, совместимое со сложением через distributive laws. Но ring обычно не является group под multiplication.
Subrings
В group theory мы рассматривали subgroups — подмножества группы, которые сами являются группами относительно той же операции. Для rings идея аналогичная.
Пусть R — ring, а:
S ⊆ R
Тогда S называется subring / подкольцом ring R, если:
- элементы
Sскладываются и умножаются так же, как вR; - результат этих операций остаётся внутри
S; - само
Sудовлетворяет всем axioms ring.
То есть subring — это не новый ring с придуманными операциями. Мы берём часть уже существующего ring и сохраняем исходные addition и multiplication.
Определение
Подмножество:
S ⊆ R
является subring ring R, если S само является ring относительно операций, унаследованных от R.
Например, если R = Z, то внутри него можно рассмотреть:
2Z = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Addition и multiplication здесь обычные, такие же, как во всём Z.
Subring test
Проверять с нуля все axioms ring каждый раз было бы муторно. Поэтому используется subring test.
Непустое подмножество:
S ⊆ R
является subring, если для любых:
a, b ∈ S
выполняются два условия:
a - b ∈ S
и:
ab ∈ S
То есть S должно быть closed under:
subtraction
multiplication
Почему проверяется именно subtraction
Чтобы S было ring по addition, оно должно быть Abelian group.
Условие:
a - b ∈ S
одновременно даёт всё необходимое.
Если взять:
a = b
то:
a - a = 0 ∈ S
Значит в S есть additive identity.
Теперь, раз:
0 ∈ S
для любого a ∈ S получаем:
0 - a = -a ∈ S
Значит вместе с каждым элементом в S лежит его additive inverse.
Наконец:
a + b = a - (-b)
А поскольку:
-b ∈ S
то:
a + b ∈ S
Таким образом, closure under subtraction автоматически обеспечивает:
- наличие
0; - наличие additive inverses;
- closure under addition.
Associativity и commutativity addition уже наследуются от большого ring R.
Почему отдельно проверяется multiplication
Из closure under subtraction ничего не следует про multiplication.
Поэтому нужно дополнительно проверить:
ab ∈ S
для любых:
a, b ∈ S
Associativity multiplication и distributive laws отдельно доказывать не нужно: они уже выполняются в R, а значит выполняются и для элементов S.
Самые простые subrings
У любого ring R есть как минимум два очевидных subrings.
Нулевой subring
{0}
Проверяем:
0 - 0 = 0
и:
0 · 0 = 0
Поэтому:
{0}
является subring любого ring.
Его называют:
trivial subring
Сам ring
Разумеется:
R
является subring самого себя.
Пример: {0, 2, 4} внутри Z6
Рассмотрим ring:
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
с addition и multiplication modulo 6.
Возьмём подмножество:
S = {0, 2, 4}
Проверим subring test.
Closure under subtraction
Все возможные результаты modulo 6 снова лежат в S.
Например:
2 - 4 = -2 ≡ 4 (mod 6)
4 - 2 = 2
2 - 2 = 0
4 - 4 = 0
Результаты всегда принадлежат:
{0, 2, 4}
Closure under multiplication
2 · 2 = 4
2 · 4 = 8 ≡ 2 (mod 6)
4 · 4 = 16 ≡ 4 (mod 6)
При multiplication на 0 результат, конечно, равен 0.
Значит:
S = {0, 2, 4}
является subring ring Z6.
У subring может быть своя unity
В ring Z6 multiplicative identity — это:
1
потому что:
1x = x
для любого:
x ∈ Z6
Но:
1 ∉ S
Тем не менее у subring:
S = {0, 2, 4}
есть собственная multiplicative identity:
4
Проверим:
4 · 0 = 0
4 · 2 = 8 ≡ 2 (mod 6)
4 · 4 = 16 ≡ 4 (mod 6)
То есть для каждого x ∈ S:
4x = x
Следовательно, 4 играет роль unity внутри S.
Получается:
unity of Z6 = 1
unity of S = 4
Это не противоречие.
Unity определяется относительно конкретного ring и его элементов.
Элемент 4 не является identity для всего Z6, например:
4 · 1 = 4 != 1
Но для трёх элементов subring S он работает как identity.
В принятом здесь определении subring не обязано содержать ту же unity, что и исходный ring. В других учебниках может использоваться более строгое соглашение: subring ring with unity должен содержать его
1.
Пример: nZ внутри Z
Для любого positive integer n рассмотрим:
nZ = {..., -3n, -2n, -n, 0, n, 2n, 3n, ...}
Это множество всех integers, делящихся на n.
Например:
3Z = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...}
Проверим subring test.
Пусть:
a = nk
b = nm
где k, m ∈ Z.
Тогда:
a - b = nk - nm = n(k - m)
Это снова multiple of n, поэтому:
a - b ∈ nZ
Теперь multiplication:
ab = (nk)(nm) = n(nkm)
Это тоже multiple of n, поэтому:
ab ∈ nZ
Следовательно:
nZ
является subring of Z.
Есть ли в nZ unity
При:
n > 1
элемент 1 не лежит в nZ.
И другого multiplicative identity там тоже нет.
Например, unity в 2Z должна была бы удовлетворять:
u · 2 = 2
Отсюда в integers получилось бы:
u = 1
но:
1 ∉ 2Z
Значит:
2Z
— ring without unity.
Вообще при n > 1:
nZ
не имеет multiplicative identity.
Пример: Gaussian integers
Рассмотрим множество:
Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}
где:
i^2 = -1
Элементы Z[i] называются:
Gaussian integers / гауссовыми целыми
Например:
3 + 2i
-5 + i
7
-4i
Все они лежат в Z[i].
Поскольку Gaussian integers являются complex numbers:
Z[i] ⊆ C
Проверим subring test.
Пусть:
x = a + bi
и:
y = c + di
где:
a, b, c, d ∈ Z
Subtraction
x - y
=
(a + bi) - (c + di)
=
(a - c) + (b - d)i
Так как:
a - c ∈ Z
и:
b - d ∈ Z
полученный элемент снова лежит в:
Z[i]
Multiplication
xy
=
(a + bi)(c + di)
Раскрываем скобки:
xy
=
ac + adi + bci + bd i^2
Поскольку:
i^2 = -1
получаем:
xy
=
(ac - bd) + (ad + bc)i
Оба коэффициента являются integers, поэтому:
xy ∈ Z[i]
Следовательно:
Z[i]
является subring of C.
Пример: функции, проходящие через origin
Пусть R — ring всех real-valued functions:
f : R -> R
Operations определяются pointwise:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
Теперь рассмотрим subset:
S = {f ∈ R | f(0) = 0}
То есть S состоит из функций, графики которых проходят через origin:
(0, 0)
Проверим subring test.
Пусть:
f, g ∈ S
Тогда:
f(0) = 0
g(0) = 0
Для subtraction:
(f - g)(0)
=
f(0) - g(0)
=
0 - 0
=
0
Значит:
f - g ∈ S
Для multiplication:
(fg)(0)
=
f(0)g(0)
=
0 · 0
=
0
Значит:
fg ∈ S
Следовательно, S является subring ring всех real-valued functions.
Почему у этого subring нет unity
Unity в ring всех functions — это constant function:
1(x) = 1
Но:
1(0) = 1
поэтому она не проходит через origin и не принадлежит S.
Другой функции, способной быть multiplicative identity для всех функций из S, тоже нет.
Значит S — ring without unity.
Non-example: positive integers
Рассмотрим:
S = {1, 2, 3, ...}
как subset of Z.
Под multiplication всё нормально:
ab ∈ S
для positive integers a и b.
Но subtraction ломается:
2 - 5 = -3
а:
-3 ∉ S
Поэтому positive integers не образуют subring of Z.
Non-example: odd integers
Рассмотрим множество odd integers:
S = {..., -3, -1, 1, 3, 5, ...}
Multiplication двух odd numbers снова даёт odd number.
Но subtraction:
3 - 1 = 2
а 2 не является odd.
Следовательно, odd integers не образуют subring of Z.
Subring lattice
У одного ring может быть много разных subrings. Их отношения удобно изображать с помощью:
subring lattice / решётки подколец
В такой диаграмме ring располагаются уровнями.
Если от S вверх идёт путь к R, это означает:
S is a subring of R
Например:
Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C
Все inclusions здесь являются inclusions rings:
Z
— subring of Q;
Q
— subring of R;
R
— subring of C.
Subrings вида nZ
Внутри Z существует множество subrings:
2Z
3Z
4Z
5Z
...
Причём inclusion здесь работает немного непривычно.
Например:
6Z ⊆ 2Z
потому что любое число, делящееся на 6, делится на 2.
Также:
6Z ⊆ 3Z
Но:
2Z not ⊆ 6Z
потому что, например:
2 ∈ 2Z
но:
2 ∉ 6Z
В общем случае:
mZ ⊆ nZ
тогда и только тогда, когда:
n divides m
Направление выглядит перевёрнутым:
чем больше число перед
Z, тем меньше множество multiples.
Например:
12Z ⊆ 6Z ⊆ 3Z ⊆ Z
Почему subrings важны
Subrings позволяют находить внутри большого ring более простые algebraic structures.
Например:
Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C
показывает, как привычные number systems вложены друг в друга.
А:
Z[i] ⊆ C
позволяет изучать complex numbers с integer coordinates как отдельное ring.
Позже идеи из group theory получат аналоги для rings:
group homomorphism -> ring homomorphism
normal subgroup -> ideal
factor group -> quotient ring
Subrings похожи на subgroups, но для построения quotient rings одних subrings недостаточно. Для этого понадобится более специальная структура:
ideal / идеал
Стандартные примеры
{0} ⊆ R
nZ ⊆ Z
Z[i] ⊆ C
{f : R -> R | f(0) = 0}
внутри ring real-valued functions.
Важный нюанс
В используемом здесь определении subring может:
- не содержать unity исходного ring;
- не иметь unity вообще;
- иметь собственную unity, отличную от unity исходного ring.
Например:
{0, 2, 4} ⊆ Z6
имеет unity 4, хотя unity ring Z6 равна 1.
Главная мысль
Subring — это subset ring, закрытый относительно subtraction и multiplication и использующий те же операции, что и исходный ring.