В group theory у нас уже была важная конструкция:
normal subgroup Normal subgroups нужны не просто как “особые subgroups”. Они позволяют строить:
factor groups / quotient groups То есть мы можем взять группу G, normal subgroup N, склеить элементы по cosets и получить новую группу:
G / N В ring theory происходит похожая история.
Subrings похожи на subgroups, но для построения quotient structures их недостаточно. Нужна более сильная структура:
ideal / идеал Главная идея:
ideal — это subring, …
В прошлой части мы увидели, что ring / кольцо — это структура с двумя операциями:
addition multiplication По addition ring всегда является Abelian group. Но по multiplication всё, как говорится, “хужее”:
не каждый элемент имеет inverse; cancellation может не работать; два ненулевых элемента могут дать 0. Вот последняя штука особенно важна. В обычных integers такого не бывает:
ab = 0 значит:
a = 0 или:
b = 0 Но в некоторых rings это ломается.
Например, в Z6:
2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6) При этом:
2 != 0 …
До сих пор мы в основном изучали groups / группы. У группы есть одна основная операция. Например:
(Z, +) — integers под сложением.
Или:
U(n) — обратимые элементы modulo n под умножением.
Но у многих привычных множеств существуют сразу две операции:
addition multiplication Например:
integers real numbers integers modulo n matrices polynomials Мы можем складывать integers и можем их умножать. То же самое можно делать с matrices и polynomials. Структура, которая учитывает обе операции одновременно, …
Мы уже знаем, как собирать новые группы с помощью external direct product:
G1 ⊕ G2 ⊕ ... ⊕ Gk Например:
Z4 ⊕ Z2 или:
Z3 ⊕ Z5 Теперь возникает естественный вопрос:
можно ли любую finite Abelian group разобрать на простые cyclic components?
Оказывается, да. Более того, такое разложение по существу единственно.
Именно это утверждает Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups / фундаментальная теорема о конечных абелевых группах.
Что именно классифицирует теорема Теорема относится к группам, …
В главе про isomorphisms мы рассматривали отображения, которые показывают, что две группы имеют одну и ту же структуру.
Isomorphism должен:
сохранять group operation; быть one-to-one; быть onto. Но часто нам нужно отображение, которое сохраняет операцию, даже если часть информации при этом теряется. Такое отображение называется group homomorphism / гомоморфизмом групп.
Главная идея Homomorphism переводит элементы одной группы в другую так, чтобы выполнение операции до и после mapping давало …
В главе про cosets мы увидели, что подгруппа N разбивает группу G на left cosets:
aN = {an | n ∈ N} и right cosets:
Na = {na | n ∈ N} В Abelian group left и right cosets совпадают по простой причине: для любых a ∈ G и n ∈ N:
an = na Поэтому:
aN = Na В non-Abelian group отдельные элементы обычно не коммутируют:
an != na Но иногда множества aN и Na всё равно совпадают. При этом необязательно, чтобы:
an = na для одного и того же n. Достаточно, чтобы для каждого n ∈ N нашёлся некоторый n' ∈ N, такой …
До сих пор мы в основном изучали отдельные группы. Теперь научимся брать несколько групп и собирать из них одну новую, более крупную группу.
Такая конструкция называется external direct product (внешнее прямое произведение). Главная идея очень простая:
элемент новой группы состоит сразу из нескольких компонентов, а операция выполняется отдельно в каждом компоненте.
Определение Пусть есть группы:
G1, G2, ..., Gn Их external direct product обозначается:
G1 ⊕ G2 ⊕ ... ⊕ Gn Элементы этой группы — …
В этой главе мы плавно перейдём к одной из главных теорем конечной теории групп: Lagrange’s Theorem. Но перед этим нужно понять новый инструмент: coset / смежный класс. Грубо говоря, cosets позволяют разбить группу на одинаковые блоки, построенные из одной подгруппы.
Это потом приводит к важнейшему факту:
порядок подгруппы делит порядок группы.
Но сначала надо понять сами cosets.
Определение: Coset of H in G Пусть G — группа, и:
H ⊆ G — непустое подмножество.
Если взять элемент:
a ∈ G то можно …
Изоморфизм (isomorphism) — это способ формально сказать:
две группы выглядят по-разному, но устроены одинаково.
То есть элементы могут называться по-разному, операция может записываться по-разному, но algebraic structure / алгебраическая структура одна и та же.
Простая аналогия: один человек считает: “one, two, three”, а другой: “eins, zwei, drei”. Слова разные, но оба делают одно и то же — считают.
С группами бывает аналогичная история: одна и та же структура может быть описана разными …
Циклическая группа (cyclic group) — это группа, которую можно полностью получить (сгенерировать) из одного элемента.
Иными словами, если имеется элемент a и если брать его степени:
..., a^-2, a^-1, e, a, a^2, a^3, ... то можно получить всю группу.
Формально:
G = <a> = {a^n | n ∈ Z} Такой элемент a называется generator (генератор). По-простому, один элемент “накручивает” всю группу.
Важная ремарка про notation Если группа записывается в multiplicative notation, то пишут:
a^n Это значит:
a · a · a …
Когда мы уже знаем, что такое группа (group), следующий шаг — понять её внутреннюю структуру.
Для этого вводятся понятия:
порядок группы (order of a group); порядок элемента (order of an element); подгруппа (subgroup); тесты на подгруппу (subgroup tests); порождённая подгруппа (generated subgroup); центр группы (center of a group); централизатор (centralizer). Это всё нужно, чтобы понимать, как группа устроена изнутри.
Порядок группы Порядок группы (order of a group) — это количество элементов в …
Абстрактная алгебра (abstract algebra) изучает не конкретные числа или фигуры, а структуры вида:
множество + операция + свойства операции Главный вопрос: какие свойства имеет операция?
Если разные системы имеют одинаковые свойства, их можно изучать одинаковыми методами.
Например:
целые числа под сложением; симметрии квадрата; матрицы; перестановки; точки на elliptic curve. Все они могут быть группами.
Бинарная операция Пусть:
G — множество.
Бинарная операция (binary operation) на G — это …
Введение в группы (groups) часто начинают с симметрий квадрата, потому что это очень наглядный пример.
Берём обычный квадрат. Рассматриваем все его симметрии (symmetries). По нашим условным правилам квадрат можно:
поворачивать на 0, 90, 180, 270 градусов (rotations); отражать по вертикали, горизонтали и диагоналям (reflections); комбинировать такие движения друг с другом. Нас интересует не сам путь движения, а итоговый эффект (net effect), то есть как квадрат выглядит после преобразования. …
В абстрактной алгебре функция — это не просто школьная история типа y = x². Это основной язык, через который математика говорит: “один объект переходит в другой объект по некоторому правилу”. (Да-да, вино переходит в уксус, а Мюнхгаузен — в Феофила.)
То есть функция описывает не только вычисление, но и связь между множествами, структурами, группами, кольцами, полями и так далее. Если множества (sets) — это “объекты”, то функции (functions / mappings) — это “стрелки” между объектами.
Что такое …
В абстрактной алгебре одна из первых реально важных идей такова: иногда разные с виду объекты удобно считать “одинаковыми” — не вообще, а в рамках выбранного правила. Для этого вводится отношение эквивалентности (equivalence relation).
Это не просто формальная академическая муть. Эта идея потом постоянно всплывает в криптографии и zero-knowledge в записях типа:
Z/nZ F_p G/H На первый взгляд блок про эквивалентность кажется простым и почти философским, но это важный кирпич. Без него потом сложнее …
